Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
(x + 3)^2(x + 1)(x– 2)(x– 4)^2(x– 5) < 0.
Достаточно решить неравенство
(x + 1)(x– 2)(x– 5) < 0
и исключить, если они попали в множество решений, точки x = -3, x = 4.
Ответ. x < -3, -3 < x < -1, 2 < x < 4, 4 < x < 5.
6. 0 <= ax^2 + bх + с < 9.
7. ax^2 + bх + с >= 9;
8.
(см. пример 4 на с. 62).
9. Нужно разобрать два случая в зависимости от знака правой части: если правая часть отрицательна, то неравенство удовлетворяется при всех x, при которых левая часть существует; если правая часть неотрицательна, то обе части неравенства нужно возвести в квадрат (подкоренное выражение при этом не может стать отрицательным):
10.1. Обозначим а = 1 + k. Тогда из условия а + b = 2 получим b = 1 - k. Вычислим а4 + b4:
а4 + b4 = (1 + k)4 + (1 - k)4 = 2k4 + 12k^2 + 2 = 2(k4 + 6k^2 + 1) >= 2,
так как k4 + 6k^2 >= 0 и, следовательно, k4 + 6k^2 + 1 >= 1.
10.2. Обозначим произведение, стоящее в левой части неравенства, через P. Так как а1а2 ... аn = 1, то
(осуществлено почленное деление суммы 1 + аi на аi). Поскольку
то P^2 >= 4n и, следовательно, P >= 2n, что и требовалось доказать.
10.3. Способ 1.
Способ 2. Неравенству a 2/3 + b 2/3 > c 2/3 эквивалентно неравенство
(a/c) 2/3 + (b/c) 2/3 > 1.
Так как b < с и а < с, то основания показательных функций (a/c)x и (b/c)x меньше единицы и эти функции убывают. Следовательно,
(a/c) 2/3 + (b/c) 2/3 > a/c + b/c = 1.
10.4.
4x^3 - 4x^2 + 1 >= 0.
Оценим левую часть:
4x^2(x– 1) + 1 = -4x^2(1 - x) + 1.
Так как 0 <= x <= 1, то x^2 <= x и 1 - x >= 0. Следовательно,
– 4x^2(1 - x) + 1 >= -4x(1 - x) + 1 = (2x– 1)^2 >= 0,
что и доказывает наше неравенство.
10.5. Каждый из входящих в неравенство корней оценим следующим образом:
Складывая полученные неравенства, придем к выводу, что
Теперь, чтобы доказать написанное в условии неравенство, остается убедиться, что в последней оценке равенство никогда не достигается. Равенство возможно лишь при одновременном выполнении равенств 4a + 1 = 1, 4b + 1 = 1, 4с + 1 = 1, т. е. при а = b = с = 0, что противоречит условию а + b + с = 1.
Итак,
10.6. Пусть b < а. Тогда
(а + b)n <= (2a)n = 2nan < 2n(an + bn).
10.7. Так как ( а/b)x - возрастающая показательная функция (по условию а > b) и p > q, то
Воспользовавшись формулой производной пропорции, получим
что и требовалось доказать.
10.8. Имеем n очевидных неравенств:
Первое и последнее неравенства обязательно будут строгими, так как по условию n > 1. Перемножая эти неравенства, получим
10.9. Способ 1. Обозначим a/b = u, b/c = v, c/a = w. Тогда uvw = 1, т. е. среди чисел u, v и w есть хотя бы одно, большее 1, и одно, меньшее 1 (u = v = w невозможно, так как а, b и с не равны друг другу). Пусть u > 1, а 0 < v < 1, т. е.