Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
Решением последней системы будет а < -3/2, т. е. корень x1= 5а + 3 существует при всех а < -3/2.
Пусть теперь x2 = а– 3, тогда:
Итак, корень x2 = а– 3
Таким образом, при а < -3/2 исходное уравнение имеет два корня x1 = 5а + 3 и x2 = а– 3.
Аналогично исследуется случай а < -3/2. При этом |2a + 3| = 2a + 3 и соответственно x1 = 3a - (2a + 3); x2 = 3a + (2a + 3) = 5а + 3. Подставляем эти значения в (21). Для x1 = а– 3 получим:
Аналогично для x2 = 5а + 3 имеем:
Итак, x1 = а– 3 будет корнем исходного уравнения, когда
– 3/2 < а <= 3 и а >= 12.
x2 = 5а + 3 будет корнем, когда -3/2 < а <= -12/17; а >= -51/85.
Обобщим результаты на числовой оси а (рис. P.9.36).
Ответ. При a (-, -3/2) (-3/2, -12/17) (-51/85, 3) [12, +) уравнение имеет два корня: x1 = 5а + 3, x2 = а– 3. При а = -3 имеет один корень x = 3a = -9/2. При а (-12/17, -51/85) уравнение имеет один корень x = а– 3, а при а (3, 12) — один корень x = 5а + 3.
9.37. Уравнение можно записать в виде
x(5x/5x^2 - 7x + 6 + 2x/5x^2 - x + 6– 1) = 0.
При x = 0
5x/5x^2 - 7x + 6 + 2x/5x^2 - x + 6 = 1. (22)
В знаменателях стоят симметрические многочлены. Значение x = 0 не является корнем (22) и выражение (22) не теряет при этом значении смысла. Поэтому разделим числители и знаменатели каждой дроби на x:
Проведем замену
t = 5х + 6/x. (23)
Тогда
5/t– 7 + 2/t– 1 = 1. (24)
Дальше решение стандартно. Уравнение (24) имеет корни t1 = 13 и t2 = 2. Подставляя их в (23), найдем для t1 значения x2 = 2, x3 = 3/5. Для t2 решений нет.
Ответ. 0; 2; 3/5.
9.38. Пусть x + y = u, xy = v. Тогда получим
Во второе уравнение подставим u^2 = v + 327:
(327 - v)^2 - v^2 = 84 693,
или
327^2 - 2 · 327v = 84 963.
Так как 84 693 = 327 · 259, то сократим уравнение на 327 и найдем v = 34, u^2 = 361.
Остается решить две системы:
Ответ. (2, 17), (17, 2), (-2, -17), (-17, -2).
Глава 10
Алгебраические неравенства
Ответы к упражнениям на с. 59, 62 и 63.
1. Получим совокупность неравенств, имеющую те же самые решения.
2. Получим систему неравенств, не имеющую решений.
3. Ответ.– 1 < x <= 1, 5 < x <= 7, x > 8.
4. Вначале нужно переписать неравенство в виде
(x– 5/2)(zx– 3)(x– 4)^2 <= 0.
Последний множитель показывает, что точка 4 обязательно должна принадлежать множеству решений, этим его влияние ограничивается.
Ответ. 5/2 <= x <= 3, x = 4.
5. Поскольку неравенство строгое, то множители, стоящие в знаменателе, и множители, стоящие в числителе, играют одинаковую роль. Данное неравенство равносильно такому: