Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

9.20. Умножив первое уравнение на ху^2z^2, а второе — на x^2уz^2, получим y первых двух уравнений равные правые части:

При этом могут быть получены посторонние решения, y которых одно из неизвестных обращается в нуль. Эти решения можно сразу отбросить, так как система в этом случае не удовлетворяется.

Сравним левые части полученных уравнений:

4z(x– y) = 0.

Так

как z /= 0, то x = y. Из третьего уравнения системы получаем тогда z = ¹/_x^3. Подставим эти значения y и x в первое уравнение:

4х⁴ + 1 = 0. (7)

Уравнение (7) не имеет действительных решений.

Ответ. Действительных решений нет.

9.21. Возведя второе уравнение в квадрат, найдем

(x + y)^2 = ^{x^2y^2}/₄.

Подставим в первое уравнение

x⁴ + y⁴ = ¹⁷/₄x^2y^2, т. е. (x^2 - y^2)^2 = ⁹/₄x^2y^2,

откуда

x^2 - y^2 = ±³/₂ху,

или, воспользовавшись вторым уравнением исходной системы, получим

x^2 - y^2 = ±3(x + y),

откуда

(x + y)(x– y ± 3) = 0.

Если x + y = 0, то и ху = 0, следовательно,

x₁ = 0, y₁ = 0.

Если x– y = 3, то, подставляя во второе уравнение данной системы y = x– 3, придем к уравнению x^2 - 7x + 6 = 0, с помощью которого найдем два решения системы:

x₂ = 1, y₂ = -2;

x₃ = 6, y₃ = 3.

Если

же x– y = -3, то аналогично получим

x₄ = -2, y₄ = 1;

x₅ = 3, y₅ = 6.

Производим проверку.

Ответ. (0, 0); (1, -2); (6, 3); (-2, 1); (3, 6).

9.22. Умножим первое уравнение на t:

хt + уt = t

и вычтем из второго. Аналогично поступим со вторым и третьим уравнениями. Придем к системе, не содержащей y:

B результате могут быть получены посторонние решения, в которых t = 0. Однако решение нашей системы мы закончим проверкой, благодаря которой все посторонние решения будут отсеяны.

Если x = 0, то одновременно 2 - t = 0 и 5 - 2t = 0, что невозможно. По аналогичной причине z–  t /= 0, z /= 0.

Поделим теперь второе уравнение последней системы на первое, а третье на второе. Получим

z = ^{5 - 2t}/_{2 - t}, z = ^{14 - 5t}/_{5 - 2t}.

Приравнивая эти выражения для z, придем к квадратному уравнению относительно t:

t^2 - 4t + 3 = 0, т. е. t₁ = 1, t₂ = 3.

Итак, z₁ = 3, z₂ = 1.

Остается определить x и y и сделать проверку.

Система имеет два решения.

Ответ. ( 1/2 , 1/2 , 3, 1) ( 1/2 , 1/2 , 1, 3).

9.23. Возведем первое уравнение в квадрат и вычтем из второго уравнения. После упрощения получим

2ху– 3хz + 6уz = 54.