Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы, Ваховский Евгений Борисович

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

на обложку

Ваховский Евгений Борисович

Шрифт:

x = k + 16/7, y = 8 - 3k/7.

Остается решить систему неравенств

Первое неравенство равносильно такому:

(k + 8 + 71 )(k + 8 - 71 )k > 0.

Приходим к системе

Так как -8 + 71 < 8/3, то условию задачи удовлетворяют два интервала.

Ответ.– 8 - 71 < k < 0; -8 + 71 < k < 8/3.

9.13.

Если x >= -у и x >= y, то получим системы

которая при x >= -у и x >= y имеет решение

x >= |a|/2, y = а/2

при условии а = -b.

Если x >= -у, но x <= y, то

Из условия x >= -у находим -b/2 >= -а/2, а из второго условия: -b/2 <= а/2. Оба этих неравенства соответствуют условию а >= |b|.

Если x <= -у, а x >= y, то

Подставляя найденные значения x и y в ограничения, получим b >= |а|.

Наконец, если x <= - у, x <= y, получим

Это значит, что а = b. Так как y >= x, но y <= -х, то -x >= 0. Окончательно получим при а = b >= 0

x = -а/2, -а/2 <= y <= а/2.

Ответ. При а = -b, x >= |а|/2, y = а/2; при а >= |b|, x = -b/2, y = а/2;

при b >= |a|, x = -а/2, y = -b/2; при а = b >= 0, x = -а/2, -а/2 <= y <= а/2.

9.14. Уравнение x^2 + y^2 = а при а < 0 не имеет решений. Если а >= 0, то это — уравнение окружности радиуса a с центром в начале координат. Второе уравнение определяет стороны квадрата, диагонали которого равны 2 и расположены на осях координат (рис. P.9.14).

При увеличении а окружность будет увеличиваться и сначала окажется вписанной в квадрат, затем пересечет его в восьми точках и, наконец, будет описана около квадрата.

Итак, если а < 2/2, то система не имеет решений.

Если а = 2/2, т. е. а = 1/2 , получим четыре решения: x = 1/2 , y = 1/2 и три симметричных: (- 1/2 , 1/2 ), (- 1/2 , - 1/2 ), ( 1/2 , 1/2 ).

Если 1/2 < а < 1, то восемь решений. Мы найдем их, возведя первое уравнение в квадрат и получив с помощью второго уравнения, что |x| · |y| = 1 - a/2. B результате придем к системе