Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Третье уравнение позволяет заменить 3xz на 4у^2:

2ху– 4у^2 + 6уz = 54, или ху– 2у^2 + 3уz = 27. (8)

Вычтем из уравнения (8) первое уравнение системы, умноженное на y [17] , получим

y = 3.

Подставим в первое и третье уравнения системы

17

Такое преобразование системы, вообще говоря, может привести к приобретению постороннего решения, в котором y = 0.

Решая

эту систему, найдем два решения:

x₁ = 3, z₁ = 4; x₂ = 12, z₂ = 1.

Производим проверку.

Ответ. (3, 3, 4); (12, 3, 1).

9.24. Сложив первое уравнение со вторым, первое с третьим и, наконец, второе с третьим, получим систему

Перемножим эти уравнения и обозначим xyz = u:

u^3 = (u + 2)(u^2 - 9),

а после упрощения

2u^2 - 9u– 18 = 0,

откуда u₁ = 6, u₂ = -³/₂.

Для первого значения u находим x^3 = 8, y^3 = 3, z^3 = 9, аналогично поступаем с u₂. Производим проверку.

Ответ.

9.25. Обозначим x₁ + x₂ + ... + x_n = s. Тогда уравнение, стоящее на месте с номером k, примет вид

x_k(s– x_k) + k(k + 1)s^2 = (2k + 1)^2а^2,

или

x_k^2 - sx_k– k(k + 1)s^2 + (2k + 1)^2a^2 = 0,

откуда

Возьмем для всех x_k знак минус и составим сумму х₁ + ... + x_n. Получим уравнение относительно в

откуда

Мы взяли перед корнем знак плюс, так как из уравнения для в видно, что s > 0; знаменатель не обращается в нуль ни при каких натуральных h.

Остается подставить найденное значение в в выражение для x_k и сделать проверку.

Ответ.

9.26. Пусть 7x– 11у = u,

т. е. 7(x + y) - 18у = u, откуда x + y = ^{и + 18y}/₇, а x + 9у = (x + y) + 8у = ^{и + 74y}/₇.

Приходим к системе

Из последней системы исключим y:

Если u = 0, то, как легко видеть, придем к очевидному решению: x₁ = y₁ = 0.

Если u /= 0, то получаем уравнение

откуда u₁ = 1/3 , u₂ = - 1/3 , u₃ = 2, u₄ = -2.

Для каждого значения u составляем систему 

Делаем проверку.

Ответ. (0, 0); (¹⁰/₂₄₃, -¹/₂₄₃); (-¹⁰/₂₄₃, ¹/₂₄₃); (5, 3); (-5, -3).

9.27. Если сложить уравнения системы и вычесть из первого второе, получим систему:

Возведем каждое из уравнений системы (9) в квадрат и вычтем из первого полученного уравнения второе. Получим

т. е.

(а– x)(b– x) = x^2, или (а + b)x = ab.

Если а + b = 0, но ab /= 0, то последнее уравнение, а следовательно, и данная система не имеют решений.

Если а + b = 0 и ab = 0, то а = b = 0. Написанная в начале решения система принимает вид

откуда y = -x и y = x одновременно, т. е. при а = b = 0 система имеет единственное решение x = y = 0.

Если а + b /= 0, то x = ^ab/_{a + b}.