Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Если z = 1, то x + y = 0. Тогда из второго уравнения получим ху = -4. B итоге — два решения:

x₁ = 2, y₁ = -2, z₁ = 1;

x₂ = -2, y₂ = 2, z₂ = 1.

Если

же 1 - z /= 0, то

x^2 - ху + y^2 - z^2 - z– 1 = 0. (3)

Чтобы упростить уравнение (3), снова воспользуемся тем, что x + y = 1 - z, а потому

x^2 + 2ху + y^2 = 1 - 2z + z^2. (4)

Вычитая уравнение (4) из уравнения (3), получим

ху = -z.

Теперь второе уравнение исходной системы

ху + z(x + y) = -4

можно переписать как уравнение относительно z

– z + z(1 - z) = -4.

Решая его, найдем, что либо z = -2, либо z = 2. B первом случае мы приходим к системе

Во втором случае получаем

После того как были найдены первые два решения, решение системы можно было закончить следующим рассуждением.

Данная система симметрична относительно x, y и z. Поэтому одно ее решение (2, -2, 1) порождает 3! = 6 решений, получающихся в результате всевозможных перестановок. Таким образом, мы получим шесть различных решений системы.

С другой стороны, можно доказать, что система может иметь не больше решений, чем произведение степеней ее уравнений: 1 · 2 · 3 = 6. Поскольку все шесть решений найдены, решение системы можно считать законченным, если проверить одно из найденных решений.

Ответ. (2, -2, 1); (-2, 2, 1); (1, 2, -2); (2, 1, -2), (-2, 1, 2); (1, -2, 2).

9.19. Рассмотрим многочлен M(t) = (t– x)(t– y)(t– z) + d. Его корнями по условию являются не совпадающие друг с другом числа а, b и с, следовательно,

M(t) = (t– а)(t– b)(t– с),

или (t– а)(t– b)(t– с) (t– x)(t– y)(t– z) + d.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, найдем

x + y + z = а + b + с = u,

ху + хz + уz = ab + ас + bc = v,

xyz = аbс + d = w

(справа указаны вводимые нами обозначения).

Поскольку нужно найти сумму x^3 + y^3 + z^3, выразим ее через u, v и w, осуществив непосредственное возведение в куб суммы x + y + z = u:

u^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3uv– 3w (5)

(необходимые выкладки проведите самостоятельно). Запишем теперь то же соотношение для а + b + с = u и тем самым выразим а^3 + b^3 + с^3 через u, v и w:

u^3 = а^3 + b^3 + с^3 + 3uv– 3(w– d). (6)

Вычитая из (6) соотношение (5), получим

x^3 + y^3 + z^3 = а^3 + b^3 + с^3 + 3d.

Ответ. а^3 + b^3 + с^3 + 3d.