Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы, Ваховский Евгений Борисович

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

на обложку

Ваховский Евгений Борисович

Шрифт:

Вычитаем из первого уравнения второе:

x + y = (y– x)(x + y).

Если x + y = 0, то x = y = 0, поскольку и x, и y неотрицательны. Так как

то из x = y = 0

следует, что а = 0. Проверкой убеждаемся, что найден корень данного уравнения.

Если x + y /= 0, то y– x– 1 = 0, откуда

и x^2 + x + 1 - а = 0. Решая квадратное уравнение, найдем

Остается исследовать, при каких значениях а эти корни вещественны и удовлетворяют исходному уравнению.

Во-первых, необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным, т. е. а >= 3/4 .

Во-вторых, корень данного уравнения не должен быть отрицательным. Один из корней

при всех а >= 3/4 отрицателен, а потому не подходит. Другой корень

больше или равен нулю, если

т. е. а >= 1.

Проверкой убеждаемся, что

удовлетворяет первоначальному уравнению. B самом деле, подставляя x1 в это уравнение, получим

что выполняется одновременно с равенством

так как x >= 0. Значение х1 было найдено из уравнения

Поэтому можно осуществить в полученном нами равенстве соответствующую замену:

a– 1 - x1 = x1^2.

Так как в результате мы пришли к уравнению, из которого определили х1, то проверку можно считать законченной.

Ответ. x = 0, если а = 0, и

если а >= 1.

9.9. Перенесем

в правую часть уравнения:

и возведем обе части в квадрат. Получим

откуда при а /= 0

Делаем проверку, подставляя найденное значение x в данное уравнение. B левой части получим

Чтобы вычислить это выражение, нужно рассмотреть четыре различных случая, так как значения -1, 0, +1 параметра а разбивают числовую ось на четыре интервала. Однако легко заметить, что а > 0, так как разность, стоящая в левой части исходного уравнения, всегда положительна. Следовательно, остается рассмотреть только два случая.

Если 0 < а <= 1, то

Если же а > 1,

то

Число 1/а равно числу а только при а = ±1, а по предположению а > 1.

Ответ.

если 0 < а <= 1.

9.10. Рассмотрим два случая.

Если 2x^2 - 3x– 2 >= 0, т. е. x <= - 1/2 , x >= 2, получим уравнение

4х^2 + 5х– 2(1 + ) = 0.

Корни этого уравнения

должны лежать вне интервала (- 1/2 , 2).

Неравенство

удовлетворяется при >= -57/32. Больше двух этот корень быть не может.

Для x2 нужно решить два неравенства:

Первое выполняется при -57/32 <= <= -7/4, а второе — при >= 12.

Пусть теперь 2x^2 - 3x– 2 < 0, т. е. - 1/2 < x < 2. Данное уравнение станет линейным и мы найдем

x3 = 2( - 1)/11.

Решим неравенство

– 1/2 < 2( - 1)/11 < 2

и получим

– 7/4 < < 12.

Итак, при = -57/32 корни х1 и х2 совпадают, а корень х3 не существует, т. е. уравнение имеет единственное решение x = -5/8. Если -57/32 < <= -7/4, то уравнение имеет два решения: х1 и х2 (которые, очевидно, различны); если -7/4 < <= 12, то х1 и х3; а если >= 12, то два решения: х1 и х2.