Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Введем обозначения:

x + ¹/_x = u, y + ¹/_y = v.

Возводя каждое из этих равенств в квадрат, получим x^2 + ¹/_x^2 = u^2 - 2, y^2 + ¹/_y^2 = v^2 - 2.

Система

примет вид

Решая ее, найдем: u₁ = 4, v₁ = 14; u₂ = 14, v₂ = 4. (Если первое уравнение возвести в квадрат и сравнить со вторым, то получим uv = 56.) Остается решить две системы:

в результате чего получим восемь решений.

Ответ. (0, 0); (2 + 3, 7 + 43); (2 + 3, 7 - 43); (2 - 3 , 7 + 43 ); (2 - 3, 7 - 43 ); (7 + 43 , 2 + 3); (7 + 43, 2 - 3); (7 - 43, 2 + 3); (7 - 43, 2 - 3).

9.16. Способ 1. Из первого уравнения находим

y–  z = ху– x.

Подставляя во второе, получим

xz = 2(x– ху + x), т. е. xz = 2x(2 - y).

Если x = 0, то система принимает вид

Получаем два решения системы:

x₁ = 0, y₁ = 0, z₁ = 0;

x₂ = 0, y₂ = 6, z₂ = 6.

Если x /= 0, то z = 2(2 - y). Подставляем во второе и третье уравнения

Подставим x из первого уравнения во второе:

7у– 2у^2 = -3ху + 9у.

Если y = 0, то получаем еще одно решение:

x₃ = 4, y₃ = 0, z₃ = 4.

Если y /= 0, то 3x– 2y = 2, откуда x = ^{2(y + 1)}/₃. Подставляем в первое уравнение последней системы уравнение, которое превращается в квадратное относительно y:

2у^2 - 9у + 10 = 0,

откуда y₄ = 2, y₅ = 3 .

Делаем проверку.

Способ 2. Запишем систему в виде

и сделаем три парных сложения

Отсюда находим решения:

а) x = y = z = 0;

б)

в) если x = 0, то

 y = z = 6;

г) если y = 0, то

д) если z = 0, то

Ответ. (0, 0, 0); (0, 6, 6); (4, 0, 4); (2, 2, 0); ( ⁷/₃, ⁵/₂, -1).

9.17. Возведем уравнение x + y = -z в квадрат:

x^2 + y^2 + 2ху = z^2,

и сравним со вторым уравнением системы; найдем ху = -10.

Преобразуем сумму x⁴ + y⁴ из третьего уравнения следующим образом:

x⁴ + y⁴ = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = (20 + z^2)^2 - 200,

где на последнем шаге были использованы второе уравнение системы и найденное значение для ху. Подставив это выражение в третье уравнение системы, получим

z^2 = 9, т. е. z = ±3.

Остается решить каждую из систем:

Производим проверку.

Ответ. (-2, 5, -3); (5, -2, -3); (2, -5, 3); (-5, 2, 3).

9.18. Третье уравнение можно записать так:

(x + y)(x^2 - ху + y^2) + (z– 1)(z^2 + z + 1) = 0.

Из первого уравнения мы знаем, что x + y = 1 - z. Поэтому

(1 - z)(x^2 - ху + y^2 - z^2 - z– 1) = 0.