Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
Из уравнения
т. е.
Так как а + b
Преобразовывая систему, мы получили уравнение
Теперь можно записать, что
y = a + b/4.
Делаем проверку. Первое уравнение системы после подстановки примет вид
2а– |а– b| = а + b.
Если а >= b, то это уравнение удовлетворяется, а если а < b, то получим а = b, что противоречит предположению а < b.
Второе уравнение системы после подстановки дает равенство 2b + |а– b| = а + b.
При а >= b получаем тождество.
Ответ. Если а >= b >= 0 и а + b > 0, то x = ab/a + b, y = а + b/4; если а = b = 0, то x = y = 0.
9.28. Обозначим у = z. Тогда система перепишется в виде
Дважды возведем первое уравнение в квадрат:
4z^2 = 4х– 1, или z^2 = x– 1/4 .
Заменив
Из
z^2 = 9/4– 3x,
и сравниваем с выражением для z^2, полученным из первого уравнения:
x– 1/4 = 9/4– 3x.
Отсюда x = 5/8, а y = z^2 = 3/8.
Проверяем найденные значения x и y. Левая часть первого уравнения системы примет вид
Левая часть второго уравнения вычисляется проще:
Ответ. (5/8, 3/8).
9.29. Способ 1. Так как а и b положительны, то из данных уравнений следует, что x > 0 и y > 0.
Возведем каждое из уравнений в квадрат:
B результате могут быть приобретены только такие посторонние решения, при которых либо x < 0, либо y < 0.
Выражения 1 - y^2 и 1 - x^2, как это видно из последней системы, останутся положительными.
Мы получили систему относительно x^2 = u и y^2 = v:
Чтобы эта система была равносильна предыдущей (при замене неизвестных равносильность может быть нарушена!), достаточно потребовать выполнения неравенств
u > 0, v > 0.
Раскрыв в последней системе уравнений скобки, получим
Вычитая из первого уравнения второе, найдем
u - v = а^2 - b^2,
т. е. u = v + а^2 - b^2. Подставим в первое уравнение последней системы, получим квадратное уравнение относительно v:
v^2 + (а^2 - b^2 - 1)v + b^2 = 0,
откуда
Вычисляем u:
(У u и v, входящих в одно решение, берутся одноименные знаки.)