Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

|х^3 - 5х + 2| >= x - 2,

которое заведомо удовлетворяется при x - 2 <= 0, т. е. при x <= 2. Пусть теперь x > 2. Разложим трехчлен на множители:

|х^3 - 5х + 2| = |х^3 - 4x– (x– 2)| = |x– 2| |х^2 + 2x– 1| = (x– 2)|х^2 + 2x– 1|.

Так как x > 2,

то получаем равносильное неравенство

|х^2 + 2x– 1| >= 1,

а поскольку x^2 + 2x– 1 = x^2 + 2(x– 1/2 ) > 0, то

х^2 + 2x– 1 >= 1, или x^2 + 2(x– 1) >= 0.

Последнее неравенство удовлетворяется при любом x > 2.

Ответ. x– любое действительное число.

10.31. Так как x > 0, то вместо неравенства

можно написать

Если а > 1, то при логарифмировании по основанию а знак неравенства не изменится:

(log_а x)^2 > 2,

откуда log_a x < -2, log_a x > 2, т. е.

Если 0 < а < 1, то (log_a x)^2 < 2 и

Ответ. При 0 < a < 1, 

 при а > 1,

 x > a².

10.32. Если x > 0, то получаем неравенство, равносильное данному:

откуда 0 < x < 1.

Значение x = 0 удовлетворяет исходному неравенству. Если же x < 0, то непременно

^{5x + 2}/_{5x + 10} =n,

где n — целое. Из условия x < 0 находим

x = ^{10n– 2}/_{5 - 5n} < 0,

откуда n < ¹/₅, n > 1, или n /= 1. Мы получили бесконечное множество значений x. Чтобы выбрать из них подходящие, разберем два случая, в зависимости от того, четное или нечетное число n. Когда n = 2k,

данное неравенство можно переписать в виде |x|^2k < 1, т. е. (|x| - 1)k < 0. Поскольку x < 0, то получаем (x + 1)k > 0. Так как x = ^{20k– 2}/_{5 - 10k}, то

откуда k < -³/₁₀, 0 < k < 1/2 . Так как k — целое, то k = -1, -2, -3, ... . Получаем серию решений первоначального неравенства: x = ^{20k– 2}/_{5 - 10k}, k = -1, -2, -3, ... .

Пусть теперь n = 2k + 1. Тогда x = ^{10(2k + 1) - 2}/_{5 - 5(2k + 1)} = -^{10k + 4}/_5k. Так как x < 0, то исходное неравенство при этих значениях n удовлетворяется, если n /= 1, т. е. k /= 0.

Ответ. 0 <= x < 1, x = ^{20k– 2}/_{5 - 10k}, k = -1, -2, -3, ...; x = -^{10k + 4}/_5k, k = ±1, ±2, ±3, ... .

10.33. Данное неравенство эквивалентно неравенству

0 <= log₂ ^{3 - 2x}/_{1 - x} < 1.

(Ограничение слева обеспечивает неотрицательность числа, стоявшего под знаком квадратного корня.)

Поскольку 0 = log₂ 1, 1 = log₂ 2 и основание логарифмов больше единицы, последнее неравенство можно записать так:

1 <= ^{3 - 2x}/_{1 - x} < 2.

Требование положительности числа ^{3 - 2x}/_{1 - x}, которое могло быть нарушено при таком преобразовании, выполняется здесь автоматически.

Поскольку неравенство 1 <= y < 2 эквивалентно неравенству ^{y– 1}/_{y– 2} <= 0, получаем

Ответ. x >= 2.

10.34. Данное неравенство равносильно системе

0 < |^{x– 1}/_{2x + 1}| < 1.

Тем самым мы обеспечили положительность числа, стоявшего в условии под знаком логарифма. Левое неравенство можно заменить условием x /= 1. Тогда получим систему