Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

image l:href="#"/>

Решая каждое из четырех неравенств, придем к новой совокупности двух систем:

Итак, 3 <= x < 5, 2 < x < 3.

Ответ. 2 < x < 5.

10.20. Неравенство можно переписать в виде

(x– 3)^2 > (x + 2)^2,

откуда после раскрытия скобок и приведения подобных получим линейное неравенство.

Ответ. x < 1/2 .

10.21. При x > 0 неравенство можно переписать в виде

Последнее

неравенство равносильно системе

которая несовместна, так как несовместны два последних неравенства.

При x < 0 входящее в данное неравенство выражение

 не существует.

Ответ. Неравенство не имеет решений.

10.22. Данное неравенство можно переписать так:

Получаем совокупность двух систем

Решаем первую систему

Если правая часть второго неравенства отрицательна (x > 1/3 ), то неравенству будут удовлетворять все x, при которых подкоренное выражение неотрицательно (x^2 <= 1/4 , |x| <= 1/2 ). Получаем интервал решений 1/3 < x <= 1/2 .

Если правая часть второго неравенства неотрицательна (x <= 1/3 ), то второе неравенство можно возвести в квадрат (дополнять систему условием 1 - 4x^2 >= 0 или |x| <= 1/3 не нужно). После простых преобразований получим

откуда 0 < x <= 1/3 . Объединяя интервалы 0 < x <= 1/3 и 1/3 < x <= 1/2 , получим решение первой системы: 0 <= x <= 1/2 .

Перейдем ко второй системе:

Условие x < 0 обеспечивает положительность правой части второго не равенства. Возведем второе неравенство в квадрат, учитывая, что |x| <= 1/2 . Получим

Ответ.– 1/2 <= x < 0, 0 < x <= 1/2 .

10.23. Перепишем данное неравенство в виде

Так как в неравенство входит выражение

 а потому

. Вынесем множитель

 за скобки:

Это неравенство равносильно системе

Возведем первое неравенство системы в квадрат. При этом следует добавить условие, в силу которого выражение, «освободившееся» от влияния радикала, должно быть неотрицательным:

Так

как x^2 - x + 1 > 0 при всех x, то первому неравенству системы могут удовлетворять только x > 0, ибо выражение справа всегда положительно. Следовательно, систему можно переписать в виде

Обозначим

 тогда первое неравенство примет вид y^2 - 2y + 1 > 0, т. е. (y– 1)^2 > 0, откуда y /= 1. Итак,

Последняя система равносильна такой:

Ответ.

10.24. При x > 0 правая часть неравенства положительна, так как в этом случае

 Возведем обе части неравенства в квадрат; получим систему

Последнее неравенство системы — следствие того, что x > 0. Перенесем во втором неравенстве 1 + x в левую часть и произведем некоторые упрощения. Получим систему

Так как x > 0, то второе неравенство можно возвести в квадрат, не добавляя при этом никаких ограничений (убедитесь в этом самостоятельно):

^{121x^2 + 198x + 81}/_{4x^2 + 36x + 81} > 1 + 2x.

Умножим неравенство на знаменатель, который при x > 0 положителен; после приведения подобных получим систему

Итак, в первом случае неравенство имеет решения: 0 < x < ⁴⁵/₈.

При x = 0 данное неравенство не удовлетворяется.

Если же x < 0, то, умножив обе части на -1, придем к неравенству

Проделав с этим неравенством преобразования, аналогичные случаю, когда x > 0, придем к выводу, что оно не имеет решений при отрицательных x.

Ответ. 0 < x < ⁴⁵/₈.

10.25. Перепишем данное неравенство в виде

т. е.

Обозначив выражение, стоящее в скобках, через y, получим квадратное неравенство

y^2 + y– 42 < 0,

которое имеет решения: -7 < y < 6. Итак,

Поскольку сумма

 всегда положительна, то достаточно решить лишь правое неравенство: