Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

среди корней которого не должно быть cos x = 0.

Решая это биквадратное уравнение, получим

Так как m > 0, то перед корнем берем знак плюс. (Очевидно, что при этом cos x /= 0). Воспользуемся формулой

и преобразуем уравнение к виду

Правая часть этого уравнения положительна. Поэтому, чтобы уравнение имело решение, достаточно

откуда m <= 4.

Ответ.

При m > 0 уравнение имеет решение x = n; при 0 < m <= 4:

13.22. Раскроем скобки и применим формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов:

Приведя подобные члены, получим

откуда

и

Ответ.

13.23. Так как

sin kх sin k^2x = 1 {cos [(k– 1)kx] - cos [k(k + 1)x]}, то уравнение можно переписать в виде

 откуда

Ответ.

 где k = 0, +1, +2, ..., а натуральное n фиксировано.

13.24. Перенесем единицу в левую часть и запишем уравнение в виде

2 cos x– cos 2x– cos^2 2x = 0,

или

2 cos x– cos 2x (1 + cos 2x) = 0.

Выражение в скобках равно 2 cos^2 x. Поэтому

cos x (1 - cos x cos 2x) = 0.

Если cos x = 0, то x = /₂ + n.

Если cos x cos 2x = 1, то

Второе уравнение первой системы преобразуется к виду 2 cos^2 x– 1, т. е. cos^2 x = 1. Следовательно, cos x = 1 и x = 2n.

Для второй системы аналогично получим cos^2 x = 0, что несовместно с первым уравнением cos x = -1.

Ответ. /₂ + n; 2n.

13.25.

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух систем

Первая система может быть переписана так:

откуда

(Для k и n берутся только неотрицательные значения.) Приравнивая различные выражения для x, получим k^2 = n^2 + 1, откуда (k– n)(k + n) = 1. Так как k и n — целые и неотрицательные, то

и, следовательно k = 1, n = 0.

Теперь x определяется однозначно: x = 4.

Решаем вторую систему:

где k, n = 0, 1, 2, ... .

Приравнивая правые части последней системы, получим

(2k + 1)^2 - (2n + 1)^2 = 4, или (k– n)(k + n + 1) = 1.

Так как n и k — целые и неотрицательные числа, то последнее уравнение равносильно системе

которая не имеет целых решений.

Ответ. 4.

13.26. Данное уравнение можно переписать в виде

sin^3 x + cos^3 x = sin^2 x + cos^2 x,

откуда

sin^2 x (1 - sin x) + cos^2 x (1 - cos x) = 0.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:

Если в первом уравнении sin x = 0, то cos x /= 0. Получаем систему решения которой: x = 2k.

Если в первом уравнении 1 - sin x = 0, т. е. sin x = 1, то cos x /= 1. Приходим к системе

решения которой: x = ^{(4k + 1)}/₂.

Ответ. 2k; ^{(4k + 1)}/₂.

13.27. Способ 1. Дополним левую часть данного уравнения до полного квадрата. Для этого придется ввести еще одно слагаемое: cos x cos 3x, знак которого зависит от знака cos x, так как из данного уравнения следует, что cos 3x >= 0.