Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы, Ваховский Евгений Борисович

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

на обложку

Ваховский Евгений Борисович

Шрифт:

Ответ. x = 2n ± /3, y = 2m ± /3; где берутся либо только верхние, либо только нижние знаки.

13.42. Способ 1. Задача сводится к отысканию таких а и b, при которых равенство

tg x + tg (а– x) + tg x tg (а– x) = b является неабсолютным тождеством. Обозначив tg x = z и tg а = с (в

предположении, что а /= /2 (2n + 1)), получим

Перенеся все в левую часть и приведя к общему знаменателю, получим

Это уравнение относительно z является неабсолютным тождеством тогда и только тогда, когда многочлен, стоящий в числителе, обращается в нуль при всех z, кроме, быть может, одного значения z, обращающего в нуль знаменатель левой части, что равносильно тождественному равенству нулю этого многочлена. Так как условием тождественного равенства многочлена нулю является равенство нулю всех его коэффициентов, то получим с = 1, b = 1, т. е. b = 1, а = /4 + k. Случай а = (2n + 1)/2 приводит к равенству tg x + ctg x = b– 1, которое является неабсолютным тождеством.

Способ 2. Равенство

tg x + tg (а– x) + tg x tg (а– x) = b

должно удовлетворяться тождественно по отношению к x. Положив x = 0, получим, что либо tg а = b, либо tg а не существует, т. е. а = (2n + 1)/2. Аналогично для x = /4 получим, что либо tg (а– /4) = b– 1/2, либо а– /4 = /2 + n, т. е. а = 3/4 + n.

Итак, если а /= (2n + 1)/2 и а /= 3/4 + n, то получаем систему, которой должны удовлетворять а и b:

tg а = b, tg (а– /4) = b– 1/2.

Заменив во втором уравнении b на tg а, перепишем его в виде

откуда tg а = 1. Таким образом, b = 1, а = /4 + n. Проверим, будет ли при этих значениях а и b равенство, написанное в начале решения, неабсолютным тождеством. После подстановки получим

tg x + tg (/4 + n– x) + tg x tg (/4 + n– x) = 1

или

т.

е. равенство

являющееся неабсолютным тождеством.

Остается рассмотреть исключенные значения параметра а. Если а = (2n + 1)/2, то приходим к равенству tg x + ctg x = b– 1, являющемуся неабсолютным тождеством. Когда а = 3/4 + n, то tg а = -1 и, следовательно, b = tg а = -1. При этом исходное равенство принимает вид

tg x + ctg (x– /4) + tg x ctg (x– /4) = -1.

Оно является неабсолютным тождеством, так как при /4 < x < /2 функции tg x и ctg (x– /4) положительны, а потому левая часть равенства не может быть равна -1.

Ответ. а = /4 + n, b = 1.

13.43. Оценим левую часть уравнения:

С увеличением cos^2 2x это выражение растет. Поэтому оно будет достигать своего минимума, когда cos^2 2x = 0. Таким образом, левая часть уравнения не может стать меньше 12,5.

Поскольку правая часть не может превзойти 12,5, то получаем систему

Ответ.

13.44. Представив данное уравнение в виде

sin 2x– sin x cos 2x = 3/2,

оценим левую часть. Чтобы оценить выражение

A sin 2x + В cos 2x,

его нормируют, т. е. представляют в виде

Выражение, стоящее в скобках, можно записать как sin (2x + ), т. е. оно не превосходит по абсолютной величине единицу. В нашем случае A = 1, В = -sin x. Поэтому