Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
13.50. Представим уравнение в виде
2(tg x + ctg 2x) + (tg x/2 + ctg 2x) + (ctg 2x– ctg 3x) = 0.
Преобразуем
(Сокращение на cos x возможно, так как ограничение cos x /= 0 остается благодаря наличию множителя cos x в знаменателе sin 2x.)
Аналогично
(Во
Таким образом, уравнение примет вид:
После сложения дробей в скобках получим числитель, который, шаг за шагом, преобразуем:
Итак, данное уравнение преобразовано к равносильному ему:
Нужно найти корни числителя, при которых знаменатель не обращается в нуль. Сомножитель cos x /= 0, так как в знаменателе есть sin 2x = 2 sin x cos x. Второй сомножитель тоже не равен нулю, так как входит множителем и в числитель, и в знаменатель. Остается sin 5x/2 = 0, что имеет место при 5x/2 = k, т. е. при x = 2k/5, где k = 0, ±1, ±2.
Отсеим из этого множества чисел значения, при которых знаменатель обращается в нуль. Это будет, когда k делится на 5, т. е. k = 5n.
При остальных k, т. е. при k = 5n ± 1 и k = 5n ± 2 знаменатель в нуль не обращается.
Ответ. 2(5n ± 1)/5, 2(5n ± 2)/5.
13.51. Ограничения sin t /= 0 и cos t /= 0 объединяет условие sin 2t /= 0. Учтем, что
sin 3t– sin t = 2 sin t cos 2t, ctg^2 t + 1 = 1/sin^2 t.
Тогда уравнение (мы учли, что sin 2t /= 0) примет вид
или
Так как 2 cos^2 t = 1 + cos 2t, а 2 sin^2 t = 1 - cos 2t, то после сокращения дроби в левой части уравнения на cos 2t получим
cos t = 1/2 cos 2t– 1,
где cos 2t /= 0.
Если cos 2t /= 1/2 , то
2 cos 2t cos t– cos t = 1,
или
cos 3t + cos t– cos t = 1,
т. е. cos 3t = 1 и t = 2k/3 , k = 0,
Остается учесть все ограничения:
sin 2t /= 0, cos 2t /= 0, cos 2t /= 1/2 .
Условия sin t /= 0, cos t /= 0, cos 2t /= 0 можно объединить: sin 4t /= 0. Из значений неизвестного t = 2k/3 нужно исключить те, при которых имеет место одно из равенств: sin 4t = 0 или cos 2t = 1/2 . Первое равенство будет иметь место, когда k делится на 3, т. е. k = 3n. Остаются две возможности: k = 3m + 1 и k = 3m– 1. Итак, остались для проверки значения:
t = 2(3m + 1)/3 и t = 2(3m - 1)/3.
Среди них не должно быть таких, что cos 2t = 1. Вычислим cos[2(3m + 1)/3] и cos[2(3m– 1)/3]
cos[2(3m + 1)/3] = cos (2m + 2/3) = cos 2/3 = - 1/2 ,
cos[2(3m - 1)/3] = cos (2m - 2/3) = cos (-2/3) = - 1/2 .
Ответ. 2(3m ± 1)/3.
Глава 14
Тригонометрические неравенства
14.1. Неравенство равносильно такому:
sin^2 x > cos^2 x,
т. е.
cos^2 x– sin^2 x < 0, cos 2x < 0,
откуда
/2 + 2n < 2x < 3/2 + 2n.
Ответ. /4 + n < x < 3/4 + n.
14.2. Перепишем неравенство в виде
1/2 cos x– 1/2 sin x < -1/2,
откуда
cos (x + /4) < -1/2,
т. е.
3/4 + 2n < x + /4 < 5/4 + 2n
Ответ. /2 + 2n < x < + 2n.
14.3. Способ 1. Неравенство sin x < 3 cos x равносильно совокупности трех систем