Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Одновременно должно удовлетворяться неравенство

log₂(cos^2 x + 1) >= 1,

которому удовлетворяют числа x = n (n = 0, ±1, ±2, ...). Из них выбираем то, которое обеспечивает равенство единице первого сомножителя.

Ответ. x = 2.

15.10. Обозначим первый сомножитель через А, а второй через В, тогда данное неравенство равносильно совокупности двух систем

При А = 0

получаем x = 1. Так как при x = 1 В не существует, то первая система не имеет решений.

Перейдем теперь ко второй системе. Для решения неравенства

log_{tg x} (2 + 4 cos^2 x) >= 2

нет необходимости рассматривать случай 0 < tg x < 1, так как А не существует при этих значениях tg x. Если же x > 1, то получим

2 + 4 cos^2 x >= tg^2 x. (1)

Выражаем tg^2 x через cos^2 x (равносильность при такой замене не нарушается):

т. е. cos^2 x >= 1/4 , или

cos x <= - 1/2 , cos x >= 1/2 .

Нанесем решения этих неравенств на тригонометрический круг (рис. P.15.10). Приняв во внимание условие tg x > 1, получим решение системы.

Ответ. /₄ + k < x <= /₃ + k.

Глава 16

Трансцендентные уравнения

16.1. Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим немедленно следует, что правая часть данного уравнения не меньше двух. Однако его левая часть не может стать больше двух. Поэтому остается лишь одна возможность:

Последнее равенство достигается лишь при x^2 = 1, т. е. при x = ±1. Подставляя эти значения в левую часть первого уравнения, получим

2 sin^2 1/2 sin^2 ¹/₆ < 2.

Таким образом, исходное уравнение не имеет решений.

16.2. Так как ¹/_{cos^2 x} = tg^2 x + 1, то уравнение можно переписать в виде

2^{2 tg^2 x} + 2 · 2^{tg^2 x}– 80 = 0,

откуда

2^{tg^2 x} = 8, tg^2 x = 3, tg x = ±3, x = n ±/₃

(второе уравнение 2^{tg^2 x} = -10 не имеет решений).

Ответ. n ±/₃.

16.3.

Так как в условие одновременно входят tg x и etg x, то мы можем воспользоваться неабсолютным тождеством ctg x = ¹/_{tg x}, не опасаясь нарушения равносильности. Получим уравнение

(tg x)^{sin x} = (tg x)^{– cos x}.

Если tg x < 0, то sin x и cos x– дробные числа, и обе части равенства теряют смысл. При tg x = 0 и sin x обращается в нуль, т. е. левая часть теряет смысл.

Если tg x > 0, но /= 1, то sin x = -cos x, откуда tg x < 0, что противоречит сделанному предположению. Остается tg x = 1, x = (4k + 1)/₄.

Ответ. (4k + 1)/₄.

16.4. Данное уравнение можно записать так:

sin (2^x + 2^{x– 1}) = 1/2 ,

откуда

2^x + 2^{x– 1} = n + (-1)ⁿ /₆, или 2^x = ²ⁿ/₃ + (-1)ⁿ /₉.

Какое бы положительное число ни стояло в правой части, уравнение будет иметь решение.

Неравенство

²ⁿ/₃ + (-1)ⁿ /₉ > 0

выполняется при n >= 0.

Ответ. log₂ [²ⁿ/₃ + (-1)ⁿ /₉], где n >= 0. 

16.5. Уравнение можно переписать так:

lg sin x + lg sin 5х + lg cos 4x = 0,

или в виде системы

Из первого уравнения следует, что |sin x| = 1, |sin 5х| = 1, |cos 4x| = 1 одновременно. С учетом ограничений придем к системе

Из первого уравнения x = /₂ + 2n. Подставляем во второе и третье уравнения: