Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Ответ. 1 + /₄.

17.8. Уравнение прямой, проходящей через точки В и D, имеет вид y = 8 - x, а уравнение прямой AC есть 2y = x + 4. Решая эти два уравнения в системе, найдем x = y = 4, т. е. E(4; 4).

Проведем все построения, описанные в указании II на с. 201 (рис. P.17.8).

Дополнительно проведем ЕL || CK,

где L HK, CK HK, F — точка пересечения HK и Оу. Искомая площадь может быть определена так:

S_ABCDE = S_FGCK - S_CKD - S_ELD - S_ELH + S_AFH - S_AGB.

Каждый из треугольников — прямоугольный с известными катетами.

Ответ. 36.

17.9. Пусть x + y = u, y– x = v. Тогда

а множество решений этой системы проецируется на прямую u = 2. Другими словами, нас интересуют все значения v, при каждом из которых система неравенств (18), (19) имеет хотя бы одно решение. Пусть u — независимая переменная. Она будет абсциссой, а f(u) — ординатой для исследуемой нами плоскости. Величина v — параметр. График функции f(u) — парабола, если v^2 - 1 /= 0. Она обращена ветвями вверх при v^2 - 1 > 0 и ветвями вниз при v^2 - 1 < 0. Отдельно нужно рассмотреть случай v^2 - 1 = 0.

Итак, перед нами три случая.

1. v^2 - 1 < 0, т. е.
– 1 < v < 1. Парабола обращена ветвями вниз. При достаточно больших значениях u > 1 она принимает отрицательные значения. Поэтому в плоскости (u, v) в проекции на прямую u = 2 мы получим интервал -1 < v < 1.

2. v^2 - 1 = 0. Если v = -1, то f(u) 2 и отрицательных решений нет. Если v = 1, то f(u) = 12u, где u > 1. Отрицательных значений, удовлетворяющих системе (18), (19), в этом случае тоже нет.

3. Когда v^2 - 1 > 0, т. е. либо v < -1, либо v > 1 ветви параболы обращены вверх. Правее прямой u = 1 парабола может принимать отрицательные значения в двух случаях:

а) уравнение f(u) = 0 имеет два корня, и при этом абсцисса u₀ вершины (u₀; v₀) параболы превосходит 1, т. е.

После простых преобразований:

Окончательно

получим

Система не имеет решений, так как одновременно все три ограничения не удовлетворяются;

б) абсцисса u₀ вершины (u₀; v₀) не больше 1, но f(1) меньше нуля:

После преобразований получим

Обобщим все рассмотренные варианты. Условиям удовлетворяют два интервала значений v, проекции которых в плоскости (u, v) на прямую u = 2 не пересекаются:

v (-3, -2) (-1, 1).

Когда мы вернемся к переменным x и y, ситуация не изменится, так как замена

не ведет к изменению расстояний между соответственными точками в старой и новой системе координат.

Основная трудность этой задачи состояла в том, что исследование пришлось вести одновременно в двух плоскостях (u, f(u)) и (u, v). К тому же, в конечном счете, нас интересует третья плоскость (x, y).

Ответ. 2.

17.10. Если x₁ и x₂ — целочисленные корни данного уравнения, то x₁ + x₂ = а + 3, откуда следует, что а = x₁ + x₂– 3 — целое число. Корни данного уравнения равны

отсюда

т. е.

 — целое число. Тогда

а^2 -2a + 1 = п^2 + 20, т. е. (а– 1)^2 - п^2 = 20,

или

(а– n– 1)(а + n– 1) = 20.

Остается рассмотреть варианты, когда каждая из скобок равна целочисленным множителям числа 20. Начнем со случая

Сложив эти два уравнения, получим уравнение

2a– 2 = 21,

не имеющее целочисленных решений.

Можно сделать более общий вывод: если в правой части других пар уравнений типа (20) и (21) есть один нечетный множитель числа 20, то целочисленных решений y системы аналогичной (20), (21) нет. Остается рассмотреть только случаи

Нетрудно убедиться, что первая и вторая системы приводят к одному значению а = 7, а третья и четвертая — к значению а = -5.