Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
Умножив первое уравнение на -4 и сложив со вторым, найдем z/x, а умножив его на -5 и сложив со вторым, найдем y/x:
y/x = 25(t– t1) - 5m(t2– t), z/x = 20(t– t1) - 5m(t2– t).
Остается
(m + 1)z/mx– y/mx.
Ответ. 5/m[(4m– 1)(t– t1) - m^2(t2– t)].
18.15. Обозначим скорость самолета через x, а скорость вертолета через y. До первой встречи вертолет летел d/y ч, а самолет — d/x ч. Так как самолет вылетел на t ч позднее, то
d/y = d/x + t.
Второе уравнение мы получим из условия второй встречи. Вертолет к этому моменту находился в d км от В и пробыл в полете s– d/y ч. Самолет, преодолев расстояние s + d, пробыл в полете s + d/x ч. Следовательно,
s– d/y = s + d/x + t.
Хотя полученную систему уравнений можно решить, а затем ответить на вопрос задачи, мы сначала вычислим интересующую нас величину в предположении, что x и y известны. Вертолет прилетел в В через s/y ч после вылета. Самолет вернулся в А через (t + 2s/x) ч после того, как вертолет вылетел из А. Нас интересует величина
t + 2s/x– s/y
— на столько позднее самолет вернулся в А, чем вертолет прилетел в В. Таким образом, из полученных уравнений нужно определить 1/x и 1/y.
(s + d)d/x + d(d– s)/x + t(d– s) + td = 0, т. е. 2d^2/x = t(s– 2d),
откуда
1/x = t(s– 2d)/2d^2.
Из первого уравнения определяем 1/y:
1/y = 1/x + t/d = ts/2d^2.
Следовательно,
t + 2s/x– s/y = t + 2st(s– 2d)/2d^2– ts^2/2d^2 = t + st(s– 4d)/2d^2.
Задача имеет решение, если все участвующие компоненты положительны. Чтобы величина 1/x имела смысл, необходимо s > 2d.
По условию вертолет прилетел в В раньше, чем самолет вернулся в А. Поэтому
t + st(s– 4d)/2d^2 > 0, т. е. s^2 - 4sd + 2d^2 > 0.
Получаем квадратное неравенство относительно отношения s/d:
(s/d)^2 - 4s/d + 2 > 0,
откуда
s/d < 2 - 2 или s/d > 2 + 2.
Первое решение придется отбросить, так как тогда s < 2d– 2 d, а это противоречит условию, что s > 2d.