Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

image l:href="#"/>

Умножив первое уравнение на -4 и сложив со вторым, найдем ^z/_x, а умножив его на -5 и сложив со вторым, найдем ^y/_x:

^y/_x = 25(t– t₁) - 5m(t₂– t), ^z/_x = 20(t– t₁) - 5m(t₂– t).

Остается

подставить найденные значения в выражение

(m + 1)^z/_mx– ^y/_mx.

Ответ. ⁵/_m[(4m– 1)(t– t₁) - m^2(t₂– t)].

18.15. Обозначим скорость самолета через x, а скорость вертолета через y. До первой встречи вертолет летел ^d/_y ч, а самолет — ^d/_x ч. Так как самолет вылетел на t ч позднее, то

^d/_y = ^d/_x + t.

Второе уравнение мы получим из условия второй встречи. Вертолет к этому моменту находился в d км от В и пробыл в полете ^{s– d}/_y ч. Самолет, преодолев расстояние s + d, пробыл в полете ^{s + d}/_x ч. Следовательно,

^{s– d}/_y = ^{s + d}/_{x + t}.

Хотя полученную систему уравнений можно решить, а затем ответить на вопрос задачи, мы сначала вычислим интересующую нас величину в предположении, что x и y известны. Вертолет прилетел в В через ^s/_y ч после вылета. Самолет вернулся в А через (t + ^2s/_x) ч после того, как вертолет вылетел из А. Нас интересует величина

t + ^2s/_x– ^s/_y

— на столько позднее самолет вернулся в А, чем вертолет прилетел в В. Таким образом, из полученных уравнений нужно определить ¹/_x и ¹/_y.

Умножив первое уравнение на d– s, а второе на d и сложив, найдем

^{(s + d)d}/_x + ^{d(d– s)}/_x + t(d– s) + td = 0, т. е. ^{2d^2}/_x = t(s– 2d),

откуда

¹/_x = ^{t(s– 2d)}/_2d^2.

Из первого уравнения определяем ¹/_y:

¹/_y = ¹/_x + ^t/_d = ^ts/_2d^2.

Следовательно,

t + ^2s/_x– ^s/_y = t + ^{2st(s– 2d)}/_2d^2– ^{ts^2}/_2d^2 = t + ^{st(s– 4d)}/_2d^2.

Задача имеет решение, если все участвующие компоненты положительны. Чтобы величина ¹/_x имела смысл, необходимо s > 2d.

По условию вертолет прилетел в В раньше, чем самолет вернулся в А. Поэтому

t + ^{st(s– 4d)}/_2d^2 > 0, т. е. s^2 - 4sd + 2d^2 > 0.

Получаем квадратное неравенство относительно отношения ^s/_d:

(^s/_d)^2 - 4^s/_d + 2 > 0,

откуда

^s/_d < 2 - 2 или ^s/_d > 2 + 2.

Первое решение придется отбросить, так как тогда s < 2d–  2 d, а это противоречит условию, что s > 2d.