Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
Пусть теперь а + 2d = 5. Когда а + d = 3, получим d = 2, а = 1, что даст число 135. Когда а + d = 6, получим d = -1, а = 7, что приводит к числу 765. Поскольку все возможности исчерпаны, задача решена.
Ответ. 630; 135; 765.
19.12. Задачу можно решить, обозначив через x цифру единиц, а через q
100xq^2 + 10xq + x– 594 = 100x + 10xq + xq^2, (x + 1) + (xq^2 + 1) = 2(xq + 2).
Первое уравнение можно переписать в виде
x(q^2 - 1) = 6,
а второе — в виде
x(q^2 - 2q + 1) = 2, т. е. x(q– 1)^2 = 2.
Деля первое уравнение на второе, получим
q + 1/q– 1 = 3, q = 2.
Следовательно, x = 2.
Задачу можно решить перебором, если воспользоваться тем, что цифры числа образуют геометрическую прогрессию, причем цифра сотен больше пяти (так как число больше 594). Можно доказать, что имеются лишь три возможности: 842, 931 и 964. Второе и третье из этих чисел нужно отбросить, так как 931 - 594 /= 139 и 964 - 594 /= 469. Остается убедиться, что для числа 842 все условия задачи выполнены.
Требование, чтобы числа x + 1, хq + 2, хq^2 + 1 образовывали арифметическую прогрессию при таком решении, оказывается лишним.
Ответ. 842.
19.13. Пусть в колхозе было n комбайнов, один смог бы убрать весь урожай за x ч непрерывной работы, а при работе по плану все комбайны одновременно находились в поле y ч. Так как все комбайны могут справиться с уборкой за 24 ч, а производительность одного комбайна 1/x, то
24/x n = 1, т. е. 24n = x.
Если комбайны работают по плану, то, работая вместе, они сделали п1/xy часть всей работы. Кроме этого, первый комбайн работал n– 1 ч, второй n– 2, а (n– 1)-й работал один час. Учитывая все это, получим уравнение
n– 1/x + n– 2/x + ... + 1/x + n1/xy = 1,
или
n– 1/2n + ny = x.
Так
y = 24 - n– 1/2.
Наконец, последнее условие задачи можно записать в виде уравнения
(n + y– 7)(n– 5)1/x = 1.
Подставляя вместо x и y их выражения через n, придем к квадратному уравнению
( n + 17 - n– 1/2)(n– 5) = 242n,
т. е. n^2 - 18n– 175 = 0.
Решая это уравнение, найдем n1 = 25, n2 = -7. Второй корень не имеет смысла.
Ответ. 25.
19.14. Пусть братьям a, aq и aq^2 лет. Тогда они получат соответственно x, xq и xq^2 p.
Через 3 года им будет a + 3, aq + 3 и aq^2 + 3 лет, причем старшему окажется вдвое больше лет, чем младшему:
aq^2 + 3 = 2(a + 3). (1)
При дележе через 3 года младший брат получит x + 105, средний xq + 15. Чтобы узнать, сколько получит старший брат, вычтем эти деньги из всей суммы:
x + xq + xq^2 - (x + 105) - (xq + 15) = xq^2 - 120.
Так как братья делят деньги пропорционально их возрасту, то получим еще два уравнения:
Уравнение (1) позволяет записать второе из уравнений (2) так:
2(x + 105) = xq^2 - 120,
т. е.
x(q^2 - 2) = 330. (3)
Если в (1) раскрыть скобки, а затем вынести за скобки a, то
a(q^2 - 2) = 3. (1')
Сравним с уравнением (3):
x = 110a.
Первое из уравнений (2) можно переписать так:
(110a + 105)(aq + 3) = (110aq + 15)(a + 3), т. е. 5aq– 7a = 6.