Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
Решим его совместно с уравнением (1'):
Из первого уравнения а = 6/5q– 7. Подставим во второе. После преобразований получим квадратное уравнение
6q^2 - 15q + 9 = 0,
откуда q1 = 3/2 , q2 = 1.
Второй корень посторонний, так как тогда всем братьям одинаковое количество лет и никто из них не может через 3 года стать вдвое старше другого.
Ответ. 12, 18, 27.
19.15. Пусть
4b^2 = а^2 + 2aс + с^2,
а второе записать в виде b^2 = |ac|, то, сравнивая левые части этих равенств, найдем
а^2 + 2aс + с^2 = 4|ac|.
Если а и с одного знака, получаем уравнение
а^2 - 2aс + с^2 = 0, т. е. (а– с)^2 = 0,
откуда а = с. Следовательно, а^2 = с^2 и знаменатель прогрессии
а^2 + 6ас + с^2 = 0.
Разделим на а^2 (по условию а /= 0) и решим уравнение
(c/a)^2 + 6c/a + 1 = о
относительно c/a:
c/a = -3 ± 8.
Так как c^2/a^2 = q^2, то
q^2 = (-3 ± 8)^2.
Числа а^2, b^2 и с^2, образующие геометрическую прогрессию, положительны. Следовательно, q > 0. Таким образом, из последнего уравнения
q2,3 = 3 + 8.
Ответ. 3 - 8; 1; -3 + 8.
19.16. При n = 1 формулы верны:
Предположим, что эти формулы верны для n = k, и докажем, что они верны для n = k + 1:
Так как
Ответ. a + 2b/3.
19.17. Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений
(8a– 3)x + (14a + 5)x = 2k, (14a + 5)x– (8a– 3)x = 2n,
или
(11a + 1)x = k, (3a + 4)x = n.
Так
xk = k/11a + 1, xn = n/3a + 4.
Значения xk и xn при k, n = 0, 1, 2, ... (по условию x >= 0) образуют две прогрессии с разностями
d1 = /11a + 1, d2 = /3a + 4
и первыми членами, равными нулю. Числа xk и xn, расположенные в порядке возрастания, составляют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда их разности кратны, т. е. либо d2 = d1m при d1 <= d2, либо d1 = d2m при d2 <= d1 (m — натуральное число). Пусть, например, d1 <= d2. Тогда d1 — второй член новой прогрессии (первый ее член равен нулю) и d1 — разность этой прогрессии. Однако число d2, являясь членом второй прогрессии, также должно войти в новую прогрессию. Поэтому d2 = 0 + d1m = d1m. Обратно, если d2 = d1m и d1 <= d2, то xn = d2n = d1mn, т. е. каждый член второй прогрессии является членом первой прогрессии. Аналогичное доказательство может быть проведено для случая d2 <= d1.
Итак, для d1 <= d2 имеем
Так как m — натуральное, то 4m– 1 > 0. В свою очередь а > 0, а потому 11 - 3m > 0 и m < 11/3. Получаем три возможных значения m — 1, 2, 3 и соответствующие им значения а = 3/8, 7/5, 11/2.