Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Ответ. 50 порций мороженого по 7 p., 40 порций по 9 p., 40 порций по 11 p., 30 порций по 13 p., 20 порций по 15 p.

18.9. Обозначим время, за которое плоты прошли путь по озеру, через x. Так как весь путь они прошли за 11,5 суток, т. е. за 276 ч, то путь AC (буквой С обозначено устье реки) — за 276 - x ч, а скорость течения реки равна ^AC/_{276 - x}.

Выразим скорость течения реки с помощью остальных условий задачи. Если пароход проходит путь от А до В за 40 ч, а путь от С до В

за x ч (идет в два раза быстрее, чем с плотами), то скорость парохода вниз по течению реки равна

 Аналогично его скорость вверх по течению равна

. Если вычесть из первой скорости вторую, то получим удвоенную скорость течения реки. Мы пришли к уравнению

решая которое найдем: x₁ = 24, x₂ = 136. Второй корень посторонний, так как 40 - ^x/₂ и 48 - ^x/₂ становятся отрицательными, что не имеет физического смысла.

Ответ. 24 ч.

18.10. Пусть v₁, v₂ и v₃— скорости пловцов, а x– расстояние AC (рис. P.18.10).

Приравниваем времена, за которые пловцы проплыли путь AC:

Из условия встречи в точке D третьего и второго пловцов получим

а из условия встречи в точке E третьего и первого:

Так как в уравнение (4) входят v₂ и v₃, а в уравнение (5) v₁ и v₃, то уравнения (3) перепишем в виде

Преобразуем теперь уравнения (4) и (5):

и воспользуемся заменой (6). Получим систему

из которой проще исключить v₃. Найдем x = 10. Следовательно, v₃ = 1.

Ответ. 1 м/с.

18.11. Обозначим через x часть сосуда, занимаемую раствором кислоты, а объем всего сосуда примем за единицу. После того как сосуд долили q%-м раствором, количество концентрированной кислоты стало

^px/₁₀₀ + ^{q(1 - x)}/₁₀₀,

а новая концентрация

p₁ = px + q(1 - x) = (p– q)x + q.

Если

вместо p подставить р₁, то получим р₂, аналогично можно получить р₃ и т. д. Приходим к рекуррентному соотношению

р_k = x(р_{k - 1}– q) + q.

Вычислим р₂:

р₂ = x(р₁– q) + q = х^2(p– q) + q.

По индукции легко доказать, что

р_k = x^k(p– q) + q.

Так как p_k = r, то получим уравнение

r = x^k(p– q) + q,

откуда

Ответ.

 где либо r > q, p > q, либо r < q, p < q.

18.12. Пусть x и y — скорости автомобиля и мотоцикла соответственно, а z — длина пути AB. Тогда первая встреча произойдет через ^z/_{x + y} ч после начала движения на расстоянии ^zy/_{x + y} от пункта В. Те же рассуждения, примененные к отрезку длиной в ^zy/_{x + y}, позволят найти расстояние между первым и вторым пунктами встречи. По условию это расстояние равно ^2z/₉, т. е.

^zyx/_{(x + y)^2} = ²/₉z, или ^yx/_{(x + y)^2} = ²/₉.

Это уравнение можно переписать так:

2x^2 - 5ху + 2y^2 = 0, т. е. 2(^x/_y)^2 - 5^x/_y + 2 = 0,