Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

f(f(x)) = f(x)[f(x) - 3]^2 = x(x– 3)^2(x^3 - 6x^2 + 9x– 3)^2. (4)

Уравнение f(f(x)) = 0 имеет корни x₁ = 0, x₂ = 3,

а также корни уравнения

x^3 - 6x^2 + 9x– 3 = 0. (5)

При всех x <= 0 значения (6) отрицательны. При всех x >= 4 значения (6) положительны. Поэтому все корни (6) лежат в интервале (0, 4). Найдем корни производной функции (6):

y' = 3x^2 - 12x + 9 = 3(х^2 - 4x + 3) = 3(x– 1)(x– 3).

При x = 1 значение y достигает максимума y = 1, а при x = 3 — минимума -3. Следовательно, функция (6) пересекает по одному разу ось Ox на каждом из интервалов (0, 1), (0, 3), (3, 4), т. е. имеет 3 корня. Таким образом, уравнение (2) имеет 5 различных корней.

Ответ. 5.

17.3. Из второго уравнения находим

5z = + 2k, k — целое,

т. е.

z = ^{1 + 2k}/₅, k — целое.

Подставим в первое уравнение:

5 · 2^{x^2 - 2xy + 1} = (1 + 2k)3^{y^2 - 1}. (7)

Если y — целое, то 3^{y^2 - 1} — целое при всех y /= 0. Рассмотрим вначале случай y = 0. Тогда уравнение (7) примет вид

5 · 3 · 2^{x^2 + 1} = 2k + 1,

и целых решений y него нет, поскольку при любых целых x слева — четное число, а справа — нечетное. Итак, y /= 0. Так как множителя 3 в левой части (7) нет, то это уравнение удовлетворяется только при y^2 = 1. При y = 1 получим

5 · 2^{x^2 - 2xy + 1} = 2k + 1, т. е. 5 · 2^{(x– 1)^2} = 2k + 1.

Левая часть последнего уравнения будет четным числом при всех целых x /= 1. Правая часть — нечетное число. Поэтому есть единственная возможность x = 1, а k = 2.

Получим решение: x = 1, y = 1, z = 1.

При y = -1 придем к уравнению

5 · 2^{(x + 1)^2} = 2k + 1,

которое

удовлетворяется только при x = -1 и k = 2. Находим еще одно решение системы: x = -1, y = -1, z = 1.

Других решений y системы нет.

Ответ. (1, 1, 1), (-1, -1, 1).

17.4. Неравенство

|x + 2| <= x + 2

имеет решение x >= -2.

Обозначим

2^{x– 1} = y, sin ^x/₂ = z. (8)

Тогда уравнение, входящее в систему, примет вид

(4у + y + ¹/_y)z + (1 - 2z^2) = 3 + 2y^2,

а после простых преобразований

2z^2 - (5у + ¹/_y)z + 2(1 + y^2) = 0. (9)

Дискриминант уравнения (9), квадратного относительно z, равен:

D = (5у + ¹/_y)^2 - 16(1 + y^2) = 9у^2 - 6 + ¹/_y^2 = (3у– ¹/_y)^2.

Поэтому решениями уравнения (9) будут:

z₁ = 1/4 [5у + ¹/_y– (3y– ¹/_y)] = 1/2 (y + ¹/_y), (10)

z₂ = 1/4 [5у + ¹/_y + (3у– ¹/_y)] = 2y.

Из (8) следует, что y > 0. Из неравенства, связывающего среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных чисел, при y > 0 вытекает неравенство: y + ¹/_y >= 2. Однако z = sin ^x/₂, т. е. |z| <= 1. Но

z₁ = 1/2 (y + ¹/_y).