Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Поэтому одновременно |z₁| <= 1 и z₁ >= 1, т. е. имеется единственная возможность z₁ = 1, что достигается при y = 1, а следовательно, при x = 1. Подставим значение x = 1 в исходную систему и убедимся, что это ее решение.

Для z₂ получим

sin ^x/₂ = 2^x, где x >= -2. (11)

При x > 0

решений уравнение (11) не имеет, поскольку тогда 2^x > 1, а |sin ^x/₂| <= 1.

Значение x = 0 тоже решением не является, в чем убеждаемся непосредственной проверкой.

Когда -2 <= x < 0, решений тоже нет, так как при этих x значения 2^x положительны, а значения sin ^x/₂ <= 0.

Ответ. x = 1.

17.5. Первообразная F(x) для функции f(x) = 6х^2 + 2x + 6 равна:

F(x) = 2x^3 + x^2 + 6х + С, (12)

где константа С будет определена. Соответственно

f'(x) = 12x + 2. (13)

В точке касания x₀ > 0,7 должны иметь место следующие соотношения:

т. е. получаем систему

Уравнение (15) после упрощений принимает вид

Из его двух корней x₀ = 2/3 и x₀ = 1 условию (16) удовлетворяет только второй. Подставляем x₀ = 1 в уравнение (14) и находим, что С = 5. Окончательно

F(x) = 2x^3 + x^2 + 6х + 5.

Остается сформировать данное в условии задачи неравенство

которое примет вид

Разложим числитель на множители

и воспользуемся методом интервалов (рис. P.17.5). Ограничение x > 0,7 относилось только к расположению точки касания графиков f(x) и F(x). Здесь его учитывать не нужно.

Ответ. x (-; -¹/₆) [ 1/2 ; +).

17.6. По условию разность x– y

такова, что может быть основанием логарифма. Поэтому возможна замена 1 = log_{x– y} (x– y), а данное в условии неравенство равносильно такому:

Так как (x– y) — основание логарифма, то либо 0 < x– y < 1, либо x– y > 1. Получим совокупность двух систем, которую затем несколько преобразуем, чтобы удобнее было перейти к графическим изображениям:

Последние два неравенства первой системы можно упростить, поскольку имеет место условие x– y > 0. Получим

Решение первой системы показано на рис. P.17.6, а, решение второй — на рис. P.17.6, б, а решение совокупности — на рис. P.17.6, в.

Внимание! Интервалы оси абсцисс (0, 1) и (1, +) принадлежат множеству решений. Остальные точки границы ему не принадлежат.

17.7. Найдем решения неравенства

(x– |x|)^2 + (y– |y|)^2 <= 4 (17)

для каждого квадранта отдельно.

Пусть одновременно x >= 0, y >= 0. Тогда |x| = x, |y| = y. Неравенство (17) приобретет вид 0 <= 4, т. е. оно удовлетворяется при всех x и y из первого квадранта.

Когда x <= 0, y >= 0, точки (x, y) лежат во втором квадранте и на его границе. Тогда |x| = -x, |y| = y и неравенство (17) приобретет вид

(2x)^2 <= 4, т. е. x^2 <= 1, или -1 <= x <= 0,

так как мы рассматриваем значения x <= 0. Это будет полоса шириной 1, расположенная во втором квадранте параллельно оси Оу (рис. P.17.7).

Аналогично в четвертом квадранте получим полосу шириной 1 параллельную оси Ox.

В четвертом квадранте x <= 0, y <= 0 и мы получим из (17) неравенство

х^2 + y^2 <= 1,

т. е. ему удовлетворяют точки четвертого квадранта, лежащие внутри и на границе круга x^2 + y^2 = 1.

Нанесем на рис. P.17.7 точки прямой y = -x. Значения, удовлетворяющие неравенству x + y <= 0, будут лежать под этой прямой и на ней. Нас интересует площадь фигуры, покрытой штриховкой. Эта фигура состоит из двух прямоугольных треугольников с катетами 1 (в сумме они образуют квадрат со стороной 1) и четверти круга, имеющего радиус 1.