Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

При а = 7 имеем x₁ = 3, x₂ = 7.

При а = -5 получим x₁ = -3, x₂ = 1.

Ответ.– 5; 7.

17.11. Обозначим x^2 = y, где y >= 0. Получим квадратное уравнение

y^2 - (1 - 2a)y + а^2 - 1 = 0, (22)

дискриминант которого D = 5 - 4a.

Если 5 - 4a < 0, т. е. а > ⁵/₄,

решений нет.

Если 5 - 4a = 0, т. е. а = ⁵/₄, получим уравнение

y^2 + ³/₂y + ⁹/₁₆ = 0

с единственным корнем y = - 3/4 . Однако y >= 0 и потому решений тоже нет.

Пусть теперь а < ⁵/₄ и D > 0. Тогда уравнение (22) имеет корни:

Рассмотрим сначала случаи, когда один из этих корней равен нулю, т. е.

При а = -1 получим уравнение

y^2 - 3y = 0, т. е. y₁ = 0, y₂ = 3.

Поэтому при а = -1 исходное уравнение имеет три корня 0; -3; 3.

При а = 1 получим

y^2 + y = 0, т. е. y₁ = 0, y₂ = -1.

Поскольку y >= 0, то при а = 1 остается одно решение x = 0.

Теперь осталось рассмотреть два случая:

y₁ > 0 и y₂ > 0.

В первом случае нужно решить неравенство

Оно равносильно системе

0 < 5 - 4a < (1 - 2a)^2

(слева строгое неравенство, так как имеет место условие а < ⁵/₄), т. е.

0 < 5 - 4a < 1 - 4a + 4a^2.

Правое неравенство дает нам а^2 > 1. Таким образом, для y₁ > 0 получим

а < -1, 1 < а < ⁵/₄.

Для y₂ > 0 получим

Если 2a– 1 < 0, т. е. а < 1/2 , то условие а < ⁵/₄ соблюдается. Поэтому при а < 1/2 получим, что у₂ > 0. Если же 2a– 1 >= 0, т. е. а > 1/2 , то учтем условие а < ⁵/₄. Возведя неравенство в квадрат, получим а^2 < 1, т. е. во втором случае (а >= 1/2 ) получим 1/2 <= а < 1. Окончательно у₂ > 0 при а < 1.

Объединим решения для y₁ > 0 и у₂ > 0, нанеся их на числовую прямую, учтем результат, полученный

для а = ⁵/₄ (рис. P.17.11).

Ответ. При а < -1 уравнение относительно x имеет четыре решения. При а = -1 y него три решения, при -1 < а < 1 два решения, при а = 1 одно решение, при 1 < а < ⁵/₄ два решения, при а >= ⁵/₄ решений нет.

17.12. Пусть sin 4x = y. Тогда данное уравнение преобразуется в квадратное

(a + 3)y^2 + (2a– 1)y + (a– 2) = 0, (23)

где

|y| <= 1. (24)

Уравнение (23) имеет решения тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен, т. е.

D = (2a– 1)^2 - 4(a + 3)(a– 2) = 25 - 8a >= 0. (25)

Кроме того, нужно обеспечить, чтобы по крайней мере один из корней t₁ или t₂ уравнения (24) не превосходил по абсолютной величине 1.

Пусть сначала D = 0, т. е. а = ²⁵/₈. Тогда

Условие (24), как мы видим, соблюдается, и уравнение sin 4x = -³/₇ имеет решение.

Уравнение sin z = -³/₇ на отрезке [-, ] имеет ровно два решения z₁ и z₂. Если осуществить замену переменной: z = 4x, то отрезок [-, ] сузится для новой переменной x в четыре раза к началу отсчета и станет отрезком [-/₄, /₄]. Поэтому на отрезке [-, ] для переменной x разместятся уже не 2, а 8 решений (в силу того, что sin z имеет период 2, а sin 4x имеет период /₂). Итак, а = ²⁵/₈ — одно из искомых нами значений параметра а.

Пусть теперь D > 0, т. е. а < ²⁵/₈. Тогда уравнение (23) имеет два действительных решения y₁ и y₂, такие, что y₁ < y₂. Если оба значения y₁ и y₂ попадают внутрь интервала (-1, 1), то каждому значению синуса будут соответствовать два значения переменной z в интервале (-, ) и восемь значений переменной x = ^z/₄ в том же интервале. Решений будет ровно 8, если одно решение уравнения лежит в (-1, 1), а другое — вне этого интервала (случаи, когда y = ±1 будут рассмотрены отдельно). Конечно, можно перебрать все возможные варианты расположения y₁ и y₂ относительно интервала (-1, 1). Но это хлопотно и поэтому задачу следует упростить. Нас интересуют все случаи, когда один корень параболы, определяемой левой частью уравнения (23), внутри интервала (-1, 1), а другой вне этого интервала, т. е. парабола