Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

откуда

либо ^x/_y = 2, либо ^x/_y = 1/2 . (7)

Очевидно, что эти отношения дают симметричные решения. Если предположить, что скорость автомобиля больше скорости мотоцикла, то x = 2y.

Используем оставшиеся условия задачи. Если бы скорость автомобиля была на 20 км/ч меньше, т. е. равнялась бы (x– 20) км/ч, то первая встреча произошла бы через 3 ч после начала движения. Получаем уравнение

^z/_{x + y– 20} = 3. (8)

Мотоцикл

до встречи преодолел бы в этом случае расстояние в 3y км, а расстояние между пунктами первой и второй встреч составило бы ^3yx/_{x + y– 20}. Получаем третье уравнение:

^{3y(x– 20)}/_{x + y– 20} = 60. (9)

Подставим в это уравнение x = 2y. Получим квадратное уравнение, корнями которого являются

y₁ = 20 + 102, y₂ = 20 - 102.

Второе значение не подходит, так как тогда x₂ < 20.

Итак,

y = (20 + 102) км/ч, x = (40 + 202) км/ч,

а из уравнения (8) найдем z = (120 + 902) км.

Ответ. (120 + 902) км.

18.13. Пусть пассажир опоздал на поезд на t ч, проехал на такси x км, а на автобусе y км. Скорость поезда обозначим через u. Тогда путь до встречи с поездом пассажир проедет за

 ч, а поезд пройдет этот путь за ^{x + y}/_u ч. Учтя опоздание пассажира, получим

Поездка на такси и автобусе обошлась пассажиру в (ax + А) p. Если бы он ехал все время на такси, то это стоило бы (ax + А– В) p. и он догнал бы поезд, проехав ^{ax + А– В}/_a км. Приравнивая времена, за которые этот путь прошел поезд и проехал догонявший его пассажир, получим второе уравнение:

Третье уравнение очевидно:

Записав его в виде

найдем

Приравниваем выражения для t из уравнений (10) и (11). Получим

т. е.

Поскольку y уже найден, можно вычислить u:

Чтобы

задача имела решение, скорость поезда должна быть положительной. Так как v₁ > v₂ и А > В, то из неравенства

следует, что

Ответ.

18.14. Обозначим скорость товарного поезда до остановки через x, расстояние AB через y, а расстояние AC через z. Тогда пассажирский поезд шел вначале со скоростью mx, а после остановки оба поезда шли соответственно со скоростями ^5x/₄ и ^5mx/₄. Весь путь без остановки товарный поезд прошел бы за ^y/_x ч. Поскольку он сделал остановку на t ч в z км от А, а затем прошел оставшиеся (y– z) км со скоростью ^5x/₄, то он прошел весь путь за

^z/_x + ^{4(y– z)}/_5x + t ч.

Следовательно,

^y/_x + t₁ = ^z/_x + ^{4(y– z)}/_5x + t.

Аналогичное уравнение составляем для пассажирского поезда, который шел в обратном направлении:

^y/_mx + t₂ = ^{y– z}/_mx + ^4y/_5mx + t.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно из времени, за которое товарный поезд прошел отрезок AC, вычесть время, за которое пассажирский поезд прошел расстояние BC. В наших обозначениях эта разность запишется так:

^z/_x - ^{y– z}/_mx.

Именно это выражение нам нужно определить с помощью полученных выше уравнений. Мы может добиться этого, решив уравнения относительно ^z/_x и ^y/_x. После простых преобразований система примет вид

<