Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

f(y) = (а + 3)y^2 + (2a– 1)y + (а– 2) (26)

пересекает интервал (-1, 1) в одной и только в одной точке. Это условие равносильно такому

f(-1)f(1) < 0, (27)

т. е. на концах интервала (-1, 1) парабола имеет противоположные знаки. Подставим в (27) значения y = -1 и y = 1. После преобразований получим

а < 0.

При этом условии удовлетворяется и требование D > 0,

т. е. требование а < ²⁵/₈. Итак, все значения а (-, 0) удовлетворяют условиям задачи, как и найденное ранее значение а = ²⁵/₈. Мы не рассмотрели только случаи, когда корни уравнения (23) равны -1 и 1.

Начнем со случая y₁ = -1, y₂ = 1, т. е. f(-1) = f(1) = 0.

Так как f(-1) = 2, f(1) = 4a, то этот случай невозможен. Невозможен и случай, когда f(-1) = 0, так как f(-1) = 2. Остается последняя возможность: f(1) = 0. Но f(1) = 4a . Поэтому а = 0. Уравнение (23) примет вид

3y^2 - y– 2 = 0. (28)

Уравнение (28) имеет два корня:

у₁ = - 2/3 и y₂ = 1.

Первому из них уже будут соответствовать два значения z и восемь значений x на отрезке [-, ]. Сколько соответствует второму, не существенно. Достаточно, что не меньше одного. Поэтому этот случай не дает новых значений параметра а.

Ответ. а (-, 0) (²⁵/₈).

17.13. Через точку на плоскости (x; y) с фиксированными координатами x и y проходит кривая семейства тогда и только тогда, когда существует значение параметра а, удовлетворяющее данному уравнению кривых семейства при этих фиксированных x и y.

Другими словами, если мы запишем уравнение семейства кривых как уравнение относительно а, то оно имеет решение при тех и только тех значениях x и y, при которых через точку плоскости с этими координатами проходит кривая семейства. Поэтому преобразуем исходное уравнение к виду

2a^2 + 2(x– 2)а + (x– 1)^2 - y = 0

и потребуем, чтобы дискриминант этого уравнения был неотрицателен

D = -х^2 + 2 + 2y >= 0,

откуда

y >= ^{x^2}/₂ - 1.

Это необходимое и достаточное условие того, чтобы через точку (x; y) проходила по крайней мере одна кривая данного семейства.

Таким образом, через все точки (x; y),

лежащие вне части плоскости, ограниченной параболой y = ^{x^2}/₂– 1 (рис. P.17.13), кривые семейства не проходят. Через остальные точки кривые проходят.

Глава 18

Задачи на составление уравнений

18.1. Пусть x, y, z, u — производительности первой, второй, третьей и четвертой труб соответственно. Примем объем бассейна за единицу. Тогда получим систему уравнений

Вычитая из первого уравнения поочередно второе и третье, найдем соответственно

z = ¹/₁₂, x = ¹/₂₀.

Следовательно, общая производительность первой и третьей труб равна z + x = ²/₁₅.

Ответ. 7,5 ч.

18.2. Пусть плечи весов равны l₁ и l₂ соответственно. Тогда в первый раз продавец отпустил

 кг товара, а во второй раз он отпустил

 кг. Таким образом, он отпустил покупателю товар массой

В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим

где равенство достигается лишь при l₁ = l₂. Таким образом, продавец отпустил больше товара, чем следовало.

18.3. Если все 500 марок расклеить по 20 на один лист, то двух альбомов не хватит для всех марок. Поэтому 2x < 25, т. е. x <= 12 (x– количество листов в альбоме и, следовательно, целое). Если же 500 марок расклеить по 23 на один лист, то в двух альбомах окажется по крайней мере один свободный лист. Это значит, что 2x– 1 >= ⁵⁰⁰/₂₃, откуда 2x >= 22, x >= 11. Итак, либо x = 11, либо x = 12.

Если в альбоме 11 листов, то y школьника было 500 - 21 · 11 = 269 марок, которые нельзя разместить на 10 листах по 23 штуки на каждом. Второе число удовлетворяет условию задачи.

Ответ. 12 листов.

18.4. Поскольку понтоны находились в пути одинаковое время и в одинаковых условиях, то каждый из них проплыл одно и то же расстояние без буксира (см. второе указание на с. 203). Обозначим это расстояние через x. Каждый понтон находился в пути