Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

sin [5(/₂ + 2n)] = sin /₂ = 1, cos [4(/₂ + 2n)] = cos 0 = 1.

Ответ. /₂ + 2n.

16.6. Обозначив lg (sin x + 4) = y, получим уравнение

y^2 + 2y– ⁵/₄ = 0,

y которого два корня: y₁ = -⁵/₂, y₂ = 1/2 .

Для

первого корня получим

lg (sin x + 4) = -⁵/₂,

откуда

Так как

 то соответствующих значений x нет.

Для второго корня получим

lg (sin x + 4) = 1/2 ,

откуда

Так как

 то можем найти x.

Ответ.

16.7. Данное уравнение эквивалентно системе

Уравнение можно преобразовать, если сгруппировать sin x и sin^3 x:

sin x (1 - sin^2 x) - 1/4 cos x = 0, или sin x cos^2 x– 1/4 cos x = 0.

Так как sin x > 0, то cos^2 x < 1, и любое решение уравнения

sin x cos^2 x– 1/4 cos x = 0

удовлетворяет неравенству

sin x– 1/4 cos x > 0.

Запишем уравнение в виде

cos x(sin 2x– 1/2 ) = 0.

Так как sin x /= 1 и sin x > 0, то cos x /= 0. Остается

sin 2x = 1/2 ,

откуда

x₁ = n + /₁₂, x₂ = (2n + 1)/₂– /₁₂.

Из всех ограничений осталось удовлетворить только одному: sin x > 0. Чтобы добиться этого, нужно для x₁ и x₂ взять n = 2k.

Ответ. 2k + /₁₂; 2k + ⁵/₁₂.

16.8. Данное уравнение равносильно системе

Условие sin x > 0 содержится в уравнении, так как справа стоит всегда неотрицательное

число, а если cos x = 0, то sin x /= 0.

Рассмотрим следствие исходного уравнения

sin x = ±8 cos x,

а в конце проверим выполнение условий: sin x > 0 и cos^2 x /= ¹/₈. Получим

tg x = ±8, x = n + arctg 8.

Если tg x = ±8, то tg^2 x + 1 = 9 и cos^2 x = ¹/₉ /= ¹/₈. Чтобы проверить выполнение условия sin x > 0, рассмотрим два случая.

Если n = 2k, то x = 2k ± arctg 8. Это — углы, лежащие в первой и четвертой четвертях; условие sin x > 0 выполняется лишь для тех из них, которые лежат в первой четверти: x₁ = 2k + arctg 8.

Если n = 2k + 1, то x = 2k + ± arctg 8. Здесь нужно выбрать знак минус, так как только тогда мы получаем угол, лежащий во второй четверти.

Ответ. 2k + arctg 8; (2k + 1) - arctg 8.

16.9. Данное уравнение эквивалентно такому:

( 1/2 )^x = ^{4k + 1}/₂₀.

Так как x > 0, то ( 1/2 )^x заключено между нулем и единицей. Следовательно, 0 < ^{4k + 1}/₂₀ < 1, откуда 0 <= k <= 4.

Для каждого из этих k находим соответствующее значение x.

Ответ. log₂ ²⁰/_{4k + 1}, где k = 0, 1, 2, 3, 4.

16.10. Решаем квадратное уравнение

Стоящее под корнем выражение неотрицательно, если -1 - 5 <= m <= -1 + 5.

Делаем следующий шаг:

Когда перед корнем взят минус, то стоящее справа положительное выражение не превзойдет единицы, а потому может быть косинусом. Когда перед корнем поставлен плюс, нужно, чтобы

После возведения в квадрат, учитывая полученные вначале ограничения для m, придем к системе

y которой два интервала решений:

– 1 - 5 <= m <= -3, 1 <= m <= -1 + 5.

Ответ. При -1 - 5 <= m <= -1 + 5, x = 2n ± arccos A,

при -1 - 5 <= m <= -3 и 1 <= m <= -1 + 5, x = 2n ± arccos B, где