Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

16.11. Решаем квадратное уравнение относительно lg sin x:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: 2 а^2 - 2 >= 0, т. е. а <= -1, а >= 1.

Поскольку

то правая часть не должна превосходить единицу, а потому

Когда а >= 1,

нужно рассмотреть лишь неравенство

откуда (с учетом ограничения а > 1) получаем а > 2. Если же а <= -1, то

 всегда отрицательное число, а чтобы и число

 было неположительно, должно быть еще а >= -2.

Ответ. При а <= -2

при -2 <= а <= -1 и при а >= 2

при -1 < а < 2 решений нет.

16.12. Данная система равносильна такой:

Решая входящие сюда два уравнения, получим

Из первого уравнения большой системы следует, что второе и третье неравенства выполняются одновременно. Поэтому достаточно потребовать

Аналогично убеждаемся, что условие 3x– 4у– 15 /= 1 выполняется при n /= -⁴¹/₁₀, т. е. всегда, ибо n — целое.

Неравенство x + 2y > 0 справедливо при всех n > 1,5, т. е. n >= 2, а условие x + 2y /= 1 выполняется при n /= 1,9, т. е. всегда.

Ответ.

где n = 2, 3, 4, ... .

16.13. Если 4^{cos^2 x} = u, то

4^{sin^2 x} = 4^{1 - cos^2 x} = ⁴/_u.

Следовательно, левая часть уравнения обращается в ⁴/_u + u, где u > 0. В силу неравенства, связывающего среднее арифметическое чисел u и ⁴/_u со средним геометрическим этих же чисел, имеем

⁴/_u + u >= 4.

Для

оценки правой части уравнения выделим полный квадрат:

– 8x^2 + 12|x| - 1/2 = -2( 2|x| - ³/₂)^2 + 4 <= 4.

Поскольку левая часть уравнения не может стать меньше 4, в то время как правая его часть не может превзойти 4, остается проверить те два значения x = ± 3/4 , при которых правая часть достигает своего наибольшего значения. Непосредственной проверкой убеждаемся, что x = ± 3/4 — корни данного уравнения.

Ответ. x = ± 3/4 .

16.14. Запишем уравнение в виде

или

т. е.

Так как sin x <= 1, а

то (1) имеет единственное возможное решение, когда обе части равенства равны 1. Правая часть равна 1 при x = 0,5. Вычислим sin x при x = 0,5: sin 0,5 = sin /₂ = 1.

Ответ. 0,5.

Глава 17

Функции и их свойства

17.1. Запишем данную систему в виде

которую решим относительно f(2x + 1) и g(x– 1):

В уравнении (1) осуществим замену переменной: x– 1 = y, т. е. x = y + 1. Тогда

В уравнении (2) сделаем замену: 2x + 1 = z, т. е. x = ^{z - 1}/₂. Тогда

Теперь мы знаем, что

Подставим эти значения в неравенство

4f(x) + g(x) <= 0,

которое требуется решить по условию задачи. Получим

или после простых преобразований:

x + 1 >= 0, т. е. x >= -1.

Ответ. x >= -1.

17.2. Сначала заметим, что

f(x) = x(x^2 - 6x + 9) = x(x– 3)^2. (3)

Теперь подставим в (3) вместо x выражение f(x):