Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
Если n = 0, то arcsin x = /12,
Если n = -1, то arcsin x = -/4,
x2 = sin (-/4) = -1/2.
Если n = 1, то arcsin x = 5/12,
Ответ.
22.9.
Перенеся в правую часть уравнения, получим = - , причем 0 <= <= /2 и -/2 <= - <= /2. Поскольку обе части уравнения находятся в интервале монотонности синуса, то данное уравнение равносильно такому:
sin = sin ( - ).
Последнее уравнение можно записать в виде
добавив к нему условие |4x/5| <= 1, являющееся в данном случае следствием уравнения. Получаем x1 = 0.
Остается
Делаем проверку иррационального уравнения.
Ответ. ±1, 0.
22.10. Из условия следует, что x > 0. В таком случае
Уравнение примет вид + = /3, и обе его части окажутся в интервале (0, ], который является интервалом монотонности косинуса. Следовательно, уравнение
cos ( + ) = cos /3
равносильно данному. Раскрывая скобки и заменяя тригонометрические функции и их выражениями через x, придем к уравнению
После возведения в квадрат получим
4(1 - 4x^2)(1 - x^2) = (4x^2 + 1)^2.
При переходе к последнему уравнению могут появиться посторонние корни из-за того, что обе левые скобки могут стать отрицательными. Чтобы избежать этого, добавим условие |2x| <= 1.
Уравнение 28х^2 - 3 = 0, к которому сводится последнее, имеет корни
Ответ.
22.11. Обозначим
arctg (2 + cos x) = , arctg (2 cos^2 x/2) = .
Так как 2 + cos x > 0 и 2 cos^2 x/2 > 0, то 0 < < /2 и 0 <= < /2.
Уравнение принимает вид - = /4, причем
– /2 < - < /2
Так как (-/2, /2) — интервал монотонности тангенса, то уравнение - = /4 равносильно уравнению tg ( - ) = tg /4.
Переходя к уравнению
мы можем потерять те корни, для которых tg или tg не существует. В нашем случае этого не произойдет, поскольку
tg = 2 + cos x, tg = 2 cos^2 x/2,
а правые части существуют всегда. Получаем уравнение
которое после преобразований принимает вид
2 cos4 x/2 + cos^2 x/2 = 0.
Так как уравнение 2 cos^2 x + 1 = 0 не имеет решений, то остается cos x = 0.
Ответ. (2n + 1).
22.12. Пусть
Так как -/2 < - <= /2, то обе части уравнения лежат в интервале монотонности синуса. Поэтому уравнение равносильно такому:
sin ( - ) = sin
или
После упрощений получим уравнение
имеющее единственный корень x = 2/3 . Делаем проверку и убеждаемся, что x = 2/3 является корнем предыдущего уравнения и, следовательно, корнем исходного уравнения.
Ответ. 2/3 .
22.13. Введем обозначения
Наше уравнение принимает вид + + = или + = - . Обе части уравнения лежат в интервале (-, ). Если мы возьмем котангенсы от обеих частей уравнения, то можем потерять лишь корень, которому соответствует значение углов, равное 0, так как это — единственное значение из интервала (-, ), в котором котангенс не существует. Проверим, будет ли выполняться равенство + = - = 0. Если + = 0, то arctg (1 - x) = arctg x, откуда 1 - x = x и x = 1/2 . При x = 1 получим, что - = arctg 3/2– arctg 3/2 = 0. Таким образом, x1 = 1/2 — корень уравнения. Если + /= 0, то от обеих частей уравнения можно взять котангенсы:
ctg ( + ) = ctg ( - ),
что приведет к следствию исходного уравнения. Раскрыв скобки и подставив выражения тригонометрических функций , , и через x, получим уравнение
которое равносильно системе
Получаем два значения неизвестного: x2 = 0, x3 = - 1/2 . Проверкой убеждаемся, что оба значения удовлетворяют данному уравнению.
Ответ. 0, ± 1/2 .