Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы, Ваховский Евгений Борисович

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

на обложку

Ваховский Евгений Борисович

Шрифт:

23.7. Если f(x) — периодическая функция с периодом Т, то при всех x должно выполняться тождество

sin (x + Т) + cos [а(x + Т)] = sin x + cos аx.

Положив в этом тождестве x = 0, x = -Т и x = Т, получим

Из

первого и второго равенств найдем cos aT = 1 и T = 2n/a. Подставим найденное значение Т в последнее уравнение:

sin 4n/a + cos 4n = sin 2n/a + cos 2n,

т. е.

sin 4n/a = sin 2n/a,

откуда или 4n/a– 2n/a = 2k, или 4n/a + 2n/a = (2k + 1), т. e. или а = n/k, или a = 6n/2k + 1. И в том и в другом случае а — рациональное число.

23.8. Период функции cos 3x/2 равен Т1 = 2 : 3/2 = 4/3, период функции sin x/3 равен 6.

Наименьшее общее кратное этих периодов будет 12. Очевидно, что 12 — период данной функции. Докажем, что это — основной период.

Пусть существует период такой, что 0 < < 12. Тогда имеем тождество

cos 3/2(x + ) - sin x + /3– cos 3/2x + sin x/3 = 0,

или

sin 3/4 sin 3/4 (2x + ) + sin /6 cos 1/6 (2x + ) = 0.

Так как < 12, а 3/4 = 3/4 и /6 = /6, то одно из чисел 3/4 или /6 не является целым, т. е. по крайней мере одно из чисел sin 3/4 и sin /6 не равно нулю. Пусть, например, sin 3/4 /= 0.

Тогда имеем тождество

что невозможно, так как в правой части стоит постоянная величина. Легко убедиться, что это тождество ложно, выбрав, например, x = 0 и x = 6

и сравнив для этих x левые части. Получим sin 3/4 = 0, что противоречит предположению.

Ответ. 12.

Глава 24

Наибольшие и наименьшие значения

24.1. Так как sin x– cos^2 x– 1 = sin^2 x + sin x– 2 = (sin x + 1/2 )^2 - 9/4, то функция достигает своего наименьшего значения при sin x + 1/2 = 0.

Ответ. x = (-1)k + 1 /6 + k.

24.2. Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов

y = 1/2 [cos /6– cos (4x– /6)] = 3/4– 1/2 cos (4x– /6).

Чтобы функция y достигла своего наибольшего значения, нужно положить cos (4x– /6) = -1, откуда x = /24 + /4 (2n + 1) = n/2 + 7/24. Наибольшее значение функции равно ymax = 3/4 + 1/2 .

Ответ. При x = n/2 + 7/24 ymax = 3/4 + 1/2 .

24.3. Данную функцию можно записать в виде y = sin x cos x (cos^2 x– sin^2 x), после чего она легко преобразуется: 4y = 2 sin 2x cos 2x = sin 4x.

Ответ. 1/4 .

24.4. Запишем данное выражение в виде (x + y + 1)^2 + (x– 2)^2 - 3. Оно будет иметь наименьшее значение, если одновременно x– 2 = 0 и x + y + 1 = 0.

Ответ.– 3 при x = 2.

24.5. Точки ±1 и ±2 разбивают числовую ось на пять интервалов, в каждом из которых нетрудно найти наименьшее значение y.

1. Если x <= -2, то y = x^2 - 1 + x^2 - 4 - x– 2 - x– 1 = 2x^2 - 2x– 8.

Абсцисса вершины параболы y = 2x^2 - 2x– 8 равна x = -b/2a = 1/2 ,

т. е. при x <= 2 мы находимся левее вершины, функция y на этом участке убывает, а потому наименьшее значение она принимает в самой правой точке интервала: x = -2, y = 4.