Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

аb + ас + bс = аb + с(а + b) >= аb + 5с,

т. е. аb + 5с <= 12. Перепишем теперь первое соотношение в виде аb · 5с = 36. Чтобы решить систему неравенства и уравнения, отыщем точки пересечения прямой x + y = 12 с гиперболой xy = 36, где x = аb, y = 5с.

Решая эту систему, найдем единственную точку x = y = 6. Отсюда легко следует, что системе, записанной вначале, отвечают лишь числа с = ⁶/₅, аb = 6. Подставив эти значения во второе соотношение, получим а + b <= 5. Поскольку одновременно а + b >= 5 (третье соотношение), то а + b = 5 наряду с условием аb = 6.

Ответ. 2, 3, ⁶/₅.

24.12. Преобразуем данную функцию следующим образом:

Второе слагаемое достигает своего наименьшего значения, когда его знаменатель максимален. Поскольку

|sin ( + x) sin ( - x)| = 1/2 |cos 2x– cos 2|,

то наибольшее значение этого выражения достигается при cos 2x = -1, если cos 2 >= 0, 0 < <= /₄, и при cos 2x = 1, если cos 2 < 0, /₄ < < /₂.

В первом случае x = ^{(2k + 1)}/₂, во втором x = k. И в том и в другом случае первое слагаемое выражения (1) обращается в нуль. Следовательно, при 0 < <= /₄ наибольшее значение функции равно 2 tg^2 , а при /₄ < < /₂ равно 2 ctg^2 .

Ответ. 2 tg^2 при 0 < <= /₄, 2 ctg^2 при /₄ < < /₂·

24.13. Введем обозначения: arcsin x = , arccos x = . Поскольку + = /₂, то

^3 + ^3 = ( + )^3 - 3( + ) = ^{^3}/₈– ³/₂.

Наименьшее значение данной функции соответствует наибольшему значению произведения . Так как >= 0, то наибольшее значение следует искать при > 0. В этом случае ( > 0, > 0) можно записать, что

<= ( ⁺ /₂)^2 = ^{^2}/₁₆.

Наибольшее значение достигается при = = /₄. Следовательно, наименьшее значение исходной функции достигается при x = ¹/₂ и равно

^{^3}/₈ - ^{3^3}/₃₂ = ^{^3}/₃₂.

Наименьшее значение произведения , где >= 0, достигается при условии, что < 0, причем желательно, чтобы абсолютные величины и были наибольшими. При x = -1 будет = -/₂, = . Именно в этой точке произведение достигает минимума, так как принимает минимальное, а — максимальное из возможных значений. Итак, при x = -1

исходная функция имеет наибольшее значение

^{^3}/₈ + ³/₂ /₂ = ^{7^3}/₈.

Ответ. ^{^3}/₃₂, ^{7^3}/₈.

24.14. Сделаем следующие преобразования:

y = 2 sin^2 x + 2 cos^2 x + 4(2 cos^2 x) - 2 sin 2x = 2 + 4(1 + cos 2x) - 3 sin 2x = 6 + 4 cos 2x– 3 sin 2x = 6 + 5(⁴/₅ cos 2x– ³/₅ sin 2x) = (см. указание I) = 6 + 5(sin cos 2x– cos sin 2x) = 6 + 5 sin( - 2x).

Поскольку min sin ( - 2x) = -1, то min y = 6 - 5 = 1.

Ответ. 1.

24.15. Преобразуем данную систему к виду

или

Введем новые переменные:

^{x + 1}/₅ = s, ^{y + 2}/₅ = t, ^z/₁₂ = v, ^{w– 1}/₁₂ = u. (4)

Тогда система примет вид

и для удовлетворяющих этой системе переменных нужно найти

min (y + w) = min (5t + 12u– 1). (8)

Обратим внимание на то обстоятельство, что (5) и (6) — уравнения окружностей радиуса 1. Поэтому можно положить:

s = sin , t = cos ; v = sin , u = cos .

Тогда для левой части (7) получим

sin cos + sin cos = sin( + ) <= 1. (9)

Учитывая соотношения (9) и (7) одновременно, получим

sin ( + ) = 1, т. е. + = /₂ + 2k, (10)

или

sin = cos , cos = sin , (11)

s = u, t = v. (12)

Соотношение (7), которое преобразуется теперь в равенство, примет вид

u^2 + t^2 = 1. (13)

Нам нужно найти min (5t + 12u– 1). Воспользуемся соотношениями (11) и (12), в силу которых u = sin , t = cos . Тогда st– 12u– 1 = 13(⁵/₁₃ - cos - ¹²/₁₃ sin^3 ) - 1 = 13 cos ( + ) - 1, где cos = ⁵/₁₃, sin = ¹²/₁₃. Поэтому min (5t– 12u– 1) = -14.