Системная технология

Телемтаев Марат Махметович

Кроме этого, при заданном a=const, если производить проверку выполнения условия (9.2.4), изменяя последовательно номер начальной вершины от i1 до in, то любое ребро гамильтонова цикла появится точно в (а-1) системах из этих ((а-2)!-1) неравенств как первое по счету, второе, третье и т.д. (а-1)-е ребро в проверяемых участках гамильтонова цикла.

Следовательно, левая часть неравенства (9.2.4) имеет вид:

Выражение для правой части условия (9.2.4) можно записать в виде:

Для того, чтобы получить выражение для правой части условия (9.1.4), необходимо найти число появлений ребер графа вида (ic, ic+N ) в каждой системе из ((а-1) !-1) неравенств, задаваемых определенным значением k, а также во всех системах этих неравенств, получаемых при изменении ik от i1 до in.

Очевидно, что число появлений пар (ic, ic+N) в правых частях неравенств вида (9.2.4) равно числу появлений пар (ic, ic+N) в последовательностях:

ik, i'k+1, i'k+2, ..., i'k+a-2, ik+a-1 (9.2.5.)

задаваемых (а-2)! перестановками чисел i'k+1, i'k+2,..., i'k+a-2

Следует учесть также, что одна из этих последовательностей, а именно i1, i2, i3, ..., ik+a-1 находится в левой части этих неравенств.

Пары icic+N можно разделить на следующие виды по признаку, содержат они или нет «неподвижные» вершины ik и ik+а-1:

а) icic+N при с ? k; с+п < к+а-1; п>1, п ? а-2; это пары элементов в (9.2.5), не содержащие элементов ik, ik+а-1 и тех элементов (i1, i2, i'2 , i3, i'3, i4 и т.д.), которые входят в гамильтонов цикл (9.2.1а).

Каждая из пар этого вида появится в системе неравенств (9.2.4) для определенного значения ik=i1,i2, ..., in, точно (а-3)(а-4)! раз – по числу (а-4)! перестановок (а-4) элементов, т.е. элементов последовательности (9.1.5) за вычетом элементов ik, ik+a-1, ic, ic+N для каждого из (а-3) возможных положений пары ic, ic+N в последовательности (9.2.5).

б) ic, ic+N при n>1, с=k и ic+N ic+a-1 при n < а-2, с=k это пары элементов в (9.2.5), содержащие элементы ik или ik+a-1 и элементы гамильтонова цикла (9.2.1а).

Каждая из этих пар появится в системе неравенств (9.2.4) для определенного значения ik=i1,i2, ..., in, точно (а-3)! раз по числу возможных перестановок (а-3) элементов, т.к. элементы ik, ik+N, ik+a-1 для этих пар «неподвижны».

Кроме этого, в совокупностях пар обоих видов надо выделить пары ic, ic+1, т.е. пары элементов гамильтонова цикла (9.2.1а). Тогда можно считать, что каждая из этих пар появится в системе неравенств (9.2.4) для определенного значения ik=i1,i2, ..., in точно ((a-3)!-1) раз по числу появлений пар вида а) или б) и за вычетом появлений одной пары, находящейся в левой части неравенства (9.2.4).

Аналогично и для любой пары вида ic+N ic число появлений в системе неравенств (9.2.4) для определенного значения ik равно (а-3)!. Здесь надо учесть то обстоятельство, что ik и ik+a-1 «неподвижны», т.е. они не могут участвовать в парах вида ic+N ic.

Таким образом, каждая пара элементов вида ic ic+N, не образующая ребро, инцидентное гамильтонову циклу, а также каждая пара вида ic+N ic появятся в правой части системы неравенств, записанных для определенного значения ik, точно (а-3)! раз, а ребра, инцидентные гамильтонову циклу, точно ((а-3)!-1) раз.

Задавая последовательно значения ik от i1 до in, мы получаем каждый раз новые системы неравенств. При этом относительно любого ребра ic, ic+N участок ik, ik+1, ... , ik+a-1 «передвигается», вследствие чего любые пары ic+N ic или ic, ic+N участвуют в a-N(k+a-1-n-k+1=a-N) системах неравенств (9.2.4). То обстоятельство, что пары вида (ic+N, ic) с участием элементов ik и ik+a-1 в каждой системе неравенств невозможны, приводит к уменьшению числа появлений каждого такого вида пар ic+N ic в системе (9.2.4) для данного N на две.

Ребра ic ic+1 участвуют, таким образом, в (а-1) системах неравенств, если, конечно, (а-3)!-1 ? 1 или а ? 5, т.е., если они по условию вообще появляются в правой части системы неравенств для любого ik.

Отсюда очевидно, что любое ребро ?(ikik+N), N ? 1, графа будет повторяться в правых частях п систем неравенств (9.2.4) (а – N) раз для ik= i1, i2, ..., in.

Следовательно, правая часть системы (9.2.4) примет вид:

Итак, условие а-оптимальности примет вид:

для а ? 5.

После простых преобразований получаем

для а ? 5.

Отсюда получаем условие n-оптимальности (а=n):

И, далее, условие (n+1)-оптимальности (а=n+1), т.е. условие оптимальности собственно гамильтонова цикла, принимает вид

Можно усилить условие (9.2.7), введя вместо проверки суммарного неравенства проверку по всем k. Получим условия а-оптимальности гамильтонова цикла в виде: