Статьи и речи
Шрифт:
F
=2(d/dtx)( 1/2 L)=Ld/dtx
(3)
Подставляя это выражение для F в (2), получим
d/dtx=- 1/2 curl curl
D
.
(4)
Теперь рассмотрим криволинейный интеграл от F по замкнутой плоской кривой C (рис. 3). Трубки, перпендикулярные к плоскости рисунка, показаны в сечении кривыми стрелками для обозначения направления циркуляции, причём за положительное направление принято направление против часовой
Рис. 3. Трубки, дрейфующие через кривую С.
Из рис. 3 ясно, что если F должно сохранять преобладающее направление против часовой стрелки, то трубки с положительной циркуляцией будут дрейфовать внутрь C, а трубки с отрицательной циркуляцией будут покидать C, увеличивая таким образом результирующую положительных трубок. Следовательно, криволинейный интеграл F вокруг C связан со скоростью изменения результирующей циркуляции вокруг C. На рис. 3 элемент длины дуги dr обозначен через F и представлена плоскость (плоскость рисунка), по отношению к которой дрейфующие трубки имеют нормальные составляющие. Число положительных трубок, пересекающих dr влево в единицу времени, в dr cos раз больше числа положительных трубок на единицу площади. Число отрицательных трубок, покидающих C, такое же самое. Отрицательная трубка, покидающая C, есть та же самая в отношении циркуляции C, что и положительная входящая трубка. Компоненты трубки в плоскости рисунка не вносят никакой доли в циркуляцию C. Каждая трубка внутри C вносит 2 единиц циркуляции в C, а так как плотность разлагаемых трубок в направлении, нормальном к рисунку, есть 1/2 L то скорость изменения циркуляции вокруг C равна
/C (circ C) =
2( 1/2 L)(dr cos ).
На основании (3), учитывая, что d/dt нормально к , можно записать
F
d
r
=Ldr cos ,
так что
/t(circ C) = 1/
F
d
r
.
По мере того как размеры контура C становятся малыми (однако недостаточно малыми, для того чтобы были различимы индивидуальные трубки), эти члены, разделённые на площадь, охватываемую C, приближаются к компоненту, нормальному плоскости рисунка
/t(curl
q
)=1/ curl
F
,
(5)
где q — макроскопическая скорость среды (в отличие от микроскопической скорости жидкости).
Теперь напишем q в виде dD/dt перегруппируем члены в (5). Принимая во внимание (2), получаем
curl
F
= curl ^2
D
/t^2,
F
=-G curl curl
D
.
(6)
За исключением некоторых деталей, относящихся к дрейфу, эти уравнения
E
=t=k
1
(Ld/dtx
)=k
1
F
и B=k2 curl D, где k1 и k2 — произвольные постоянные. Теперь уравнения (6) принимают вид
curl
E
/t = -(k
1
/k
1
)^2
B
/t^2,
curl
B
= (k
2
/k
1
G)
E
/t.
Если предположить, что установившиеся поля отсутствуют, то интегрирование по времени первого из этих уравнений и приравнивание к нулю даёт аналог вихревых уравнений Максвелла для свободного пространства
curl
E
= -(k
1
/k
2
)
B
/dt,
curl
B
= (k
2
/k
1
G)
E
/dt
(7)
Так как k2 и k1 произвольны, то можно выбрать k2=k1 итогда получим
curl
E
= -
B
/dt,
curl
B
= (1/c^2)
E
/dt
(8)
где c^2=G/ — квадрат волновой скорости.
Из этого факта, что B есть вихрь вектора, получаем
div
B
= 0.
(8a)
На основании (4) получаем div dE/dt=0 или div E не зависит от времени. Так как мы предположили, установившиеся поля отсутствуют, то для рассматриваемых частных случаев должно быть
div
E
=0.
(9)
Если выбрать k1 безразмерным, то dE/dt будет иметь размерность силы на единицу объёма, а E — размерность импульса на единицу объёма. Так как curl D безразмерен, то B имеет размерности k2 которые при специальном выборе, сделанном для получения уравнения (8), представляют размерность массовой плотности. Волновая скорость должна быть независимой от выбора k1 и k1 — факт, который подтверждается уравнениями (7).