Статьи и речи

Максвелл Джеймс Клерк

Пуанкаре был одним из творцов метода, известного под именем «метода Шварца — Пуанкаре», с помощью которого ему удалось установить существование и свойства решений широкого класса краевых задач математической физики. Идеи, лежащие в основе этого метода, проложили путь к распространению методов Неймана и Робэна на все поверхности Ляпунова. Пуанкаре принадлежит открытие так называемого метода фундаментальных функций, обобщающего классические методы решения частных задач теории потенциала с помощью специальных функций, и, наконец, открытие замечательного метода доказательства существования решения первой краевой задачи (задачи Дирихле), свободного от ограничений, связанных с выпуклостью рассматриваемой поверхности. Речь идёт о методе, названном самим автором «методом выметания» («methode de halayage») и опубликованного в первом из указанных мемуаров.

Метод выметания явил собой пример поразительного сочетания математических и физических идей, какой история теории потенциала уже имела в работах Грина и Гаусса.

Ещё

со времён Пуассона и Грина было известно, что если единичный заряд, сосредоточенный в какой-нибудь точке P внутри сферы, распределить по его поверхности так, чтобы на ней образовался так называемый слой Грина, то такое преобразование (как раз и названное Пуанкаре «операцией выметания» изнутри сферы) не приведёт к каким-либо изменениям поля вне данной сферы, Пуанкаре обратил внимание на то, что из этого утверждения, дополненного указанием о действии слоя Грина на точки внутри данной сферы, можно извлечь весьма далеко идущие следствия. Такого рода дополнение и делает сначала Пуанкаре, доказав, что операция выметания положительных масс изнутри сферы приводит к ослаблению поля внутри этой сферы. Это предложение Пуанкаре составляет, так сказать, первую, классическую основу его «метода выметания».

Вторая основа этого метода имеет чисто математический характер и связана с новыми в то время направлениями в математике, относящимися к области теории множеств. Пуанкаре показывает, что для любой замкнутой поверхности всегда можно построить счётное множество сфер (S_n), покрывающих область вне и не пересекающихся с самой поверхностью .

Если теперь представить проводник окружённый сферой центра O и радиуса R, равномерно заряженный положительным электричеством плотности, равной ¹/_4R, то внутрь некоторых из сфер (S_n) счётного покрытия, области, внешней к попадут электрические заряды. Начиная с какой-нибудь из таких сфер (S_i), произведём в любом порядке последовательные выметания, но так, чтобы каждая из сфер покрытия выметалась бесконечно много раз. Из сказанного выше следует, что каждая операция выметания может привести разве лишь к уменьшению потенциала в любой точке M пространства по сравнению с его первоначальным значением V₀, равным ^R/_OM в любой точке M вне и равным 1 внутри . Таким образом, внутри каждой из сфер (S_i) определится некоторая невозрастающая последовательность V₁⁽ⁱ⁾, V₂⁽ⁱ⁾,…, V_n⁽ⁱ⁾ положительных функций, гармонических внутри (S_i) имеющая, следовательно, некоторый конечный предел V⁽ⁱ⁾. Согласно теореме Гарнака, этот предел также является функцией гармонической внутри (S_i), а совокупность этих последних, взятая во всем i, определяет некоторую функцию V, гармоническую вне . Так как каждая из V_n⁽ⁱ⁾ удовлетворяет условию 0<=V_n⁽ⁱ⁾<V₀, то таким же свойством обладает и функция V, которая в силу этого оказывается регулярной на бесконечности.

Согласно построению, каждая из функций V_n⁽ⁱ⁾ обращается в 1 на . Для доказательства того, что таким же свойством обладает и предельная функция V Пуанкаре вынужден наложить некоторое ограничение на поверхность проводника . Именно, он предполагает, что в каждой точке этой поверхности существует определённая касательная плоскость и два определённых отличных от нуля радиуса кривизны. Эти ограничения позволяют для любой точки M₀ поверхности проводника построить сферу (S), целиком лежащую внутри и касательную к в точке M₀. Если C —центр сферы (S) и r — её радиус, то функция -^r/_MC, рассматриваемая как функция от M, гармонична вне (S) и обращается в 1 на (S). Поэтому функция u(M)=V_n(M)- ^r/_MC, где V_n(M) — потенциал точки M, получающийся из V₀(M) после n операций выметания, будет потенциалом в точке M поля, порождаемого положительными зарядами, лежащими вне (S) и отрицательного заряда -r, сконцентрированного в центре сферы (S). В силу этого вне (S) функция u может иметь лишь максимумы, и так как U|_S=0, то вне (S U>0), т. е. V_n(M) > ^r/_MC. Таким образом, вне (S) ^r/_MC < V_n <= V < 1, и при M _{– >} M₀ будет V(M) _{– >} V(M₀)=1. Тем самым доказано существование

функции, гармонической вне заданного проводника и обращающейся в 1 на поверхности этого проводника, т. е. установлено существование решения основной задачи электростатики для указанного класса поверхностей.

С помощью метода изображений Томсона эта задача даёт возможность установить существование функции Грина, а значит, и решить внутреннюю задачу Дирихле.

Мы не станем останавливаться на некоторых остроумных усовершенствованиях метода выметания, сделанных Пуанкаре в этом же мемуаре. Укажем лишь, что Пуанкаре удаётся снять некоторые ограничения на рассматриваемые им поверхности и предложить такое видоизменение метода выметания, которое позволяет непосредственно (т. е. минуя построение функции Грина) доказать принцип Дирихле для указанного выше класса поверхностей при условии непрерывности функции, входящей в краевое условие задачи Дирихле.

Высказанные в связи с этим идеи Пуанкаре привели к глубокому проникновению в теорию потенциала методов теории функций, связанных с понятиями меры и ёмкости множеств, с теорией суб- и супергармонических функций, благодаря чему теория потенциала обогатилась новыми обобщениями в постановке и решении её задач.

В третьем из упомянутых выше мемуаров, вышедшем в 1896 г., Пуанкаре определяет некоторый класс поверхностей, содержащий выпуклые поверхности, для которого методы Неймана и Робэна сохраняют ещё свою силу. Для этих поверхностей Пуанкаре устанавливает следующее: если W — потенциал двойного слоя с непрерывной плотностью /=const, то отношение J/J' интегралов вида (W)^2di, взятых соответственно по внутренности и внешности (S), заключено в конечных и отличных от нуля пределах, не зависящих от v. Опираясь на это предложение, Пуанкаре установил принцип Неймана для всех введённых им поверхностей.

Заслуга Пуанкаре в том, что он впервые обратил внимание на связь между принципом Неймана и существованием конечных и отличных от нуля пределов отношения J/J'. Именно эта связь послужила исходным пунктом в исследованиях Стеклова и Зарембы, которые, опираясь на основополагающие работы Ляпунова, смогли обосновать применимость методов Неймана и Робэна ко всем поверхностям Ляпунова. Метод Пуанкаре, как и многие другие методы решения электростатических задач, которыми Максвелл непосредственно не занимался, дополняли стройное здание электродинамики, понимаемой в широком смысле.

У. И. Франкфурт, М Г. Шраер

Теория цветов в исследованиях Максвелла

В первые годы своей научной деятельности Д. К. Максвелл активно интересовался проблемами, связанными с теорией цветов.

Следует отметить, что в то время теория цветов только складывалась. Первые работы в этой области относятся, правда, ещё к XVII в. и были выполнены в основном Ньютоном. XVIII век не внёс ничего существенного в изучение этой проблемы. И только в XIX в. возрождается интерес к ней и появляются многочисленные теоретико-экспериментальные работы. Ещё короче была история вопросов, связанных с цветовой слепотой: она впервые была описана в XIX в. известным английским химиком Дальтоном, который обнаружил у себя недостаток в цветовом восприятии.

Основы теории цветов были заложены И. Ньютоном. Он поставил перед собой задачу создать математическую теорию цветов⁶¹ и выполнил её. Он показал на опыте, что «лучам с разной преломляемостью отвечают разные цвета»⁶², что «цвет белый и чёрный, а также пепельный или более тёмные промежуточные цвета создаются беспорядочным смешением лучей всякого рода. Таким же образом прочие все цвета, не являющиеся первоначальными, производятся различными смесями этих лучей. Отсюда не удивительно, что при разъединении разнородных лучей неравным преломлением мы видим, что снова возникают из них различные цвета. ...Первоначальные цвета при смешении лучей одного с другим могут проявлять смежные цвета; так, зелёный — из жёлтого и синего, жёлтый — из прилежащего зеленого и лимонного и также из других. Под первоначальными цветами я разумею... какие угодно... проявляемые каким-либо однородным видом лучей»⁶³. Ньютон отмечает: «Свет [Солнца] состоит из лучей всех цветов не только при выходе из призмы, когда он ею разлагается на цвета, но даже тогда, когда он ещё не дошёл до призмы, до всякого преломления»^63a.

Таким образом, в «Лекциях» он определяет основные положения, которые в последующих работах ещё более подкрепляются опытами. Здесь мы видим и зачатки цветоведения, что в дальнейшем было разработано в «Оптике» (1704), и утверждение, что белый свет — более сложен в сравнении с «первоначальными» цветами: нет ни одного сорта лучей, который в отдельности мог бы проявлять белизну — белый свет всегда есть смесь находящихся в определённой пропорции лучей разной цветности.

«Лекции по оптике» читались Ньютоном в 1669—1671 гг. в Тринити-колледжс небольшому числу студентов. В силу ряда причин «Лекции» не были опубликованы, и первой работой Ньютона по теории цветов, получившей известность, оказался мемуар 1672 г., направленный тогдашнему секретарю Королевского общества Ольденбургу. В нём Ньютон отстаивает те же положения. И в мемуаре 1675 г. и в завершающей его оптические изыскания «Оптике» Ньютон остаётся на этих позициях.