Структура реальности
Шрифт:
Благодаря Геделю мы знаем, что никогда не будет непреложного метода определения истинности математического высказывания, как не существует и непреложного метода определения истинности научной теории. Как никогда не будет и непреложного метода создания нового математического знания. Следовательно, математический прогресс всегда будет зависеть от использования творчества. Изобретение новых видов доказательства всегда будет возможно и необходимо для математиков. Они будут обосновывать их с помощью новых аргументов и новых способов объяснения, зависящих от их непрерывно увеличивающегося понимания абстрактных категорий, связанных с этим доказательством. Примером служат теоремы самого Геделя: чтобы доказать их, ему пришлось изобрести новый метод доказательства. Я сказал, что этот метод был основан на «диагональном доказательстве», однако Гедель по-новому расширил это доказательство. До него так ничего не доказывали; никакие правила вывода, составленные кем-либо, кто никогда не видел метода Геделя, не могли бы определить его как обоснованный. Однако он является самоочевидно обоснованным. Откуда исходит эта самоочевидность? Она исходит из понимания Геделем природы доказательства. Доказательства Геделя так же неоспоримы, как и любые другие математические доказательства, но только для
Таким образом, объяснение все-таки играет ту же самую первостепенную роль в чистой математике, как оно играет ее в науке. Объяснение и понимание мира — физического мира и мира математических абстракций — в обоих случаях является целью изучения. Доказательство и наблюдения — это всего лишь средства проверки наших объяснений.
Роджер Пенроуз извлек из результатов Геделя еще более глубокий, радикальный и достойный Платона урок. Как и Платона, Пенроуза восхищает способность человеческого разума постигать абстрактные определенности математики. В отличие от Платона Пенроуз не верит в сверхъестественное и принимает как само собой разумеющееся, что мозг — часть естественного мира и имеет доступ только к этому миру. Таким образом, задача для него встает даже более остро, чем для Платона: как может беспорядочный, ненадежный мир давать математические определенности такой беспорядочной и ненадежной части себя, какой является математик? В частности, Пенроуза удивляет, как мы можем понять безошибочность новых обоснованных форм доказательства, которых, как уверяет Гедель, бесконечно много.
Пенроуз все еще работает над подробным ответом, но он заявляет, что само существование свободной математической интуиции такого рода фундаментально несовместимо с существующей структурой физики и, в частности, с принципом Тьюринга. Вкратце его доказательство выглядит примерно так. Если принцип Тьюринга истинный, то мы можем рассматривать мозг (подобно любому другому объекту) как компьютер, обрабатывающий определенную программу. Взаимодействия мозга с окружающей средой составляют вводимые и выводимые данные. Теперь рассмотрим математика в процессе решения, обоснован или нет недавно предложенный вид доказательства. Принятие такого решения эквивалентно обработке компьютерной программы обоснования доказательства в мозге математика. Такая программа реализует набор правил вывода Гильберта, которые, в соответствии с теоремой Геделя, не могут быть законченными. Более того, как я уже сказал, Гедель предоставляет способ создания и доказательства истинного высказывания, которое эти правила не способны признать доказанным. Следовательно, математик, разум которого является эффективным компьютером, применяющим эти правила, также никогда не сможет признать это высказывание доказанным. Затем Пенроуз предлагает показать этому самому математику это высказывание и метод доказательства его истинности Геделем. Математик понимает доказательство. Оно все-таки самоочевидно обоснованно, поэтому математик, вероятно, сможет увидеть, что оно обоснованно. Но это бы противоречило теореме Геделя. Следовательно, где-то в доказательстве должно быть ложное допущение, и Пенроуз считает, что этим ложным допущением является принцип Тьюринга.
Большинство специалистов по вычислительной технике не согласны с Пенроузом, что принцип Тьюринга — наиболее слабое звено в его доказательстве. Они сказали бы, что математик из его доказательства в самом деле не сможет признать высказывание Геделя доказанным. Может показаться странным, почему математик вдруг не сможет понять самоочевидное доказательство. Но взгляните на следующее высказывание:
Дэвид Дойч не может составить последовательное суждение об истинности этого утверждения.
Я стараюсь изо всех сил, но не могу составить последовательное суждение о его истинности. Поскольку, если бы я сделал это, я бы составил суждение о том, что я не могу составить суждение о его истинности, и вступил бы в противоречие с самим собой. Однако вы видите, что оно Истинно, не так ли? Это показывает, что высказывание, по крайней мере, может быть необъяснимым для одного человека, но самоочевидно истинным для всех остальных.
В любом случае Пенроуз надеется на новую фундаментальную теорию физики, которая заменит как квантовую теорию, так и общую теорию относительности. Она давала бы новые предсказания, которые можно проверить, хотя она, безусловно, не противоречила бы ни квантовой теории, ни теории относительности во всех существующих наблюдениях. (Не существует известных экспериментальных примеров, опровергающих такие теории.) Однако мир Пенроуза по своей сути весьма отличен от того, что описывает существующая физика. Его основной структурой реальности является то, что мы называем миром математических абстракций. В этом отношении Пенроуз, реальность которого включает все математические абстракции, но, вероятно, не все абстракции (подобные чести и справедливости), находится где-то между Платоном и Пифагором. То, что мы называем физическим миром, является для него вполне реальным (еще одно отличие от Платона), но каким-то образом это является частью самой математики, или вытекает из нее. Более того, в его мире не существует универсальности; в частности, не существует машины, способной передать все возможные мыслительные процессы людей. Однако мир (конечно, в особенности его математическое основание), тем не менее, остается постижимым. Его постижимость гарантирована не универсальностью вычислений, а явлением, достаточно новым для физики (хотя и не для Платона): математические категории напрямую взаимодействуют с человеческим мозгом через физические процессы, которые еще предстоит открыть. Таким образом, мозг, по Пенроузу, занимается математикой, ссылаясь не только на то, что мы сейчас называем физическим миром. Он имеет прямой доступ к реальности математических Форм Платона и может постичь там математические истины (за исключением грубых ошибок) с абсолютной определенностью.
Часто предполагают, что мозг может быть квантовым компьютером и что его интуиция, сознание и способности к решению задач могут зависеть от квантовых вычислений. Возможно, это и так, но я не знаю ни свидетельств, ни убедительных аргументов в пользу этого. Я ставлю на то, что мозг, если его рассматривать как компьютер, является классическим компьютером. Но этот вопрос не имеет никакого отношения к идеям Пенроуза. Пенроуз не доказывает, что мозг — это новый вид универсального компьютера, который отличается от универсального квантового компьютера тем, что имеет больший репертуар вычислений, которые стали возможны только при новой пост-квантовой физике. Он доказывает новую физику, которая не будет поддерживать универсальность вычислений, так что при его новой теории вообще невозможно будет объяснять некоторые действия мозга как вычисления.
Должен признать, что для меня такая теория непостижима. Однако фундаментальные открытия всегда трудно понять до того, как они произойдут. Естественно, трудно оценить теорию Пенроуза, прежде чем он сформулирует ее полностью. Если теория со свойствами, на которые он надеется, в конце концов, вытеснит квантовую теорию, или теорию общей относительности, или и ту, и другую через экспериментальные проверки или предоставив более глубокий уровень объяснений, то каждый разумный человек захочет ее принять. И тогда мы отправимся в путешествие постижения нового мировоззрения, к принятию которого будет вынуждать нас объяснительная структура этой теории. Вероятно, это мировоззрение будет весьма отличным от представленного мной в этой книге. Однако, даже если все это пришло, чтобы уйти, я все равно не могу понять, каким образом можно удовлетворить первоначальную мотивацию теории, которая объясняет нашу способность понимать новые математические доказательства. Все равно останется тот факт, что сейчас, да и во всей истории великие математики обладали различной противоречивой интуицией относительно обоснованности различных методов доказательства. Поэтому, даже если истинно то, что абсолютная физико-математическая реальность поставляет свои истины прямо в наш мозг для создания математической интуиции, математики не всегда способны отличить эту интуицию от другой, ошибочной интуиции и от других, ошибочных идей. К сожалению, нет ни колокольчика, который звонит, ни фонарика, который вспыхивает, когда мы понимаем действительно обоснованное доказательство. Порой мы можем ощутить такую вспышку, в момент «эврики», — и, тем не менее, ошибиться. И даже если бы теория предсказала, что существует некий, не замеченный ранее физический индикатор, сопровождающий истинную интуицию (сейчас это становится в высшей степени невозможным), мы бы определенно нашли его полезным, но это все равно не было бы равносильно доказательству того, что этот индикатор работает. Ничто не способно доказать, что однажды еще лучшая физическая Теория не вытеснит теорию Пенроуза и не откроет, что предложенный индикатор все-таки не был надежным и что существует лучший индикатор. Таким образом, даже если мы сделаем все возможные скидки предложению Пенроуза, если мы вообразим, что оно истинно, и взглянем на мир с его позиций, это все равно не поможет нам объяснить подозрительную определенность знания, которое мы приобретаем, занимаясь математикой.
Я отразил лишь общий смысл аргументов Пенроуза и его оппонентов. Читатель поймет, что, в сущности, я на стороне его оппонентов. Однако даже если признать, что геделианское доказательство Пенроуза не доказывает то, что намеревается доказать, и кажется невероятным, что предложенная им новая физическая теория объясняет то, что намеревается объяснить, Пенроуз, тем не менее, прав, что любое мировоззрение, основанное на существующей концепции научного рационализма, создает задачу для принятых основ математики (или, как выразил бы это Пенроуз, наоборот). Это древняя задача, которую поднял Платон, задача, которая, как показывает Пенроуз, обостряется в свете как теоремы Геделя, так и принципа Тьюринга. Эта задача заключается в следующем: откуда исходит математическая определенность в реальности, состоящей из физики и понимаемой с помощью научных методов? В то время как большинство математиков и специалистов по вычислительной технике принимают определенность математической интуиции как нечто, само собой разумеющееся, они не воспринимают проблему примирения этого факта с научным мировоззрением всерьез. Пенроуз серьезно относится к этой проблеме и предлагает решение. Его предложение представляет постижимый мир в определенном аспекте, отвергает сверхъестественное, признает важность творчества для математики, приписывает объективную реальность как физическому миру, так и абстрактным категориям и включает объединение основ математики и физики. Во всех этих отношениях я на его стороне.
Поскольку попытки Брауэра, Гильберта, Пенроуза и всех остальных решить сложную задачу Платона, видимо, потерпели неудачу, стоит снова взглянуть на мнимое ниспровержение Платоном идеи о том, что математическую истину можно получить с помощью научных методов.
Прежде всего, Платон говорит нам, что, поскольку мы имеем доступ только (скажем) к несовершенным кругам, значит, через них мы не сможем получить знание о совершенных кругах. А почему нет? Точно так же можно было бы сказать, что мы не можем открыть законы движения планет, потому что у нас нет доступа к реальным планетам, а есть доступ только к их изображениям. (Инквизиция это и говорила, и я объяснил, почему она ошибалась.) Также можно было бы сказать, что невозможно построить точные станки, потому что первый такой станок пришлось бы строить с помощью неточных станков. Оглянувшись назад, можно увидеть, что такая критика вызвана очень грубым изображением принципа действия науки (подобным индуктивизму), который вряд ли можно считать удивительным, поскольку Платон жил до того, что мы могли бы признать как науку. Если, скажем, единственный способ узнать что-либо о кругах из опыта заключается в том, чтобы исследовать тысячи физических кругов, а потом, из собранных данных, попытаться сделать какой-то вывод об их абстрактных евклидовых двойниках, то Платон уловил суть. Но если мы создадим гипотезу, что реальные круги точно определенным образом похожи на абстрактные, и окажемся правы, то мы определенно можем узнать что-либо об абстрактных кругах, глядя на реальные. В геометрии Евклида часто используют рисунки для точного определения геометрической задачи или ее решения. В таком методе описания существует возможность ошибки, если несовершенство кругов на рисунке оставит впечатление, вводящее в заблуждение, — например, если кажется, что два круга касаются друг друга, хотя на самом деле этого не происходит. Но, поняв отношение между реальными и совершенными кругами, можно аккуратно исключить все подобные ошибки. А не понимая этого отношения, практически невозможно понять геометрию Евклида.
Надежность знания о совершенном круге, которое можно получить из изображения круга, полностью зависит от точности гипотезы о том, что эти круги похожи должным образом. Такая гипотеза в отношении физического объекта (рисунка) эквивалентна физической теории, и ее невозможно знать определенно. Но этот факт (как утверждал Платон) не мешает изучению совершенных кругов из опыта; он делает невозможной определенность. Он не должен расстраивать никого, кто ищет не определенность, а объяснения.