Структура реальности
Шрифт:
Геометрию Евклида можно абстрактно сформулировать без рисунков. Но использование цифр, букв и математических символов в символическом доказательстве способно породить ничуть не большую определенность, чем рисунок по той же самой причине. Символы — это тоже физические объекты, — скажем, чернильные пятна на бумаге, — которые обозначают абстрактные объекты. И опять мы полностью полагаемся на гипотезу, что физическое поведение символов соответствует поведению обозначаемых ими абстракций. Следовательно, надежность того, что мы узнаем, манипулируя этими символами, полностью зависит от точности наших теорий об их физическом поведении и о поведении наших рук, глаз и т. д., с помощью которых мы манипулируем этими символами и наблюдаем за ними. Обманчивые чернила, из-за которых случайный символ изменил свой внешний вид, когда мы не видели этого, — возможно, под дистанционным управлением какого-то шутника, обладающего практической реализацией высоких технологий, — вскоре введут нас в заблуждение относительно того, что мы «определенно» знаем.
Теперь давайте повторно исследуем еще одно допущение Платона: допущение
Поскольку все это имеет место, совершенный евклидов круг можно сделать доступным для наших чувств. Платон не осознавал этого, потому что он не знал о существовании виртуальной реальности. Не составит особого труда запрограммировать в генераторы виртуальной реальности, о которых я размышлял в главе 5, правила геометрии Евклида, так что пользователь сможет получить впечатление взаимодействия с совершенным кругом. Не имея толщины, круг был бы невидимым, пока мы также не модифицировали бы законы оптики, для этого мы могли бы освещать его, чтобы пользователь знал, где он находится. (Пуристы, возможно, предпочли бы обойтись без этого декорирования.) Мы могли бы сделать этот круг твердым и непроницаемым, и пользователь мог бы проверить его свойства с помощью твердых, непроницаемых инструментов, а также средств измерения. Виртуальные штангенциркули имели бы совершенную кромку толщиной с лезвие ножа, так что они могли бы точно измерить нулевую толщину. Пользователю можно было бы позволить «нарисовать» еще круги или другие геометрические фигуры в соответствии с правилами геометрии Евклида. Размеры инструментов и самого пользователя можно было бы регулировать по желанию, чтобы обеспечить проверку предсказаний геометрических теорем в любом масштабе, сколь угодно малом. В каждом случае переданный круг мог бы реагировать точно так же, как круг, определенный в аксиомах Евклида. Таким образом, на основе современной науки мы должны сделать вывод, что в этом отношении Платон мыслил наоборот. Мы можем воспринять совершенные круги в физической реальности (т. е. в виртуальной реальности); но мы никогда не воспримем их в области Форм, поскольку, если и можно сказать, что такая область существует, мы никак ее не воспринимаем.
Идея Платона о том, что физическая реальность состоит из несовершенных копий абстракций, сегодня случайно кажется чрезмерно асимметричной позицией. Как и Платон, мы все еще изучаем абстракции ради их самих. Однако в науке после Галилео и в теории виртуальной реальности мы также рассматриваем абстракции как средство понимания реальных или искусственных физических категорий, и в этом контексте мы считаем само собой разумеющимся, что абстракции почти всегда являются приближениями истинной физической ситуации. Таким образом, несмотря на то, что Платон считал земные круги, нарисованные на песке, приближениями истинных математических кругов, современный физик посчитал бы математический круг плохим приближением истинной формы планетарных орбит, атомов и других физических объектов.
При условии, что всегда будет существовать возможность выхода из строя генератора виртуальной реальности или его пользователя, можно ли действительно говорить о достижении совершенной передачи евклидова круга в виртуальной реальности в соответствии с нормами математической определенности? Можно. Никто не претендует на то, что сама математика свободна от неопределенности такого рода. Математики могут ошибиться в вычислении, исказить аксиомы, сделать опечатки при изложении своей собственной работы и т. д. Мы претендуем на то, что, за исключением грубых ошибок, их выводы безошибочны. Точно так же генератор виртуальной реальности, работая должным образом в соответствии со своими техническими характеристиками, в совершенстве передал бы совершенный евклидов круг.
Подобным образом мы могли бы возразить, что мы никогда не можем точно сказать, как поведет себя генератор виртуальной реальности под управлением данной программы, потому что это зависит от функционирования машины и, в конечном счете, от законов физики. Поскольку нам не дано с полной уверенностью знать законы физики, мы не можем точно знать, что машина действительно передает геометрию Евклида. И опять, никто не отрицает, что непредвиденные физические явления — станут ли они следствием неизвестных законов физики, или просто заболевания мозга или обманчивых чернил — могут сбить математика с правильного пути. Но если законы физики находятся в соответствующих отношениях, как мы и полагаем, то генератор виртуальной реальности в совершенстве может сделать свою работу, даже несмотря на то, что мы не можем определенно знать, что он это делает. Здесь следует проявить внимательность, чтобы не перепутать два вопроса: можем ли мы знать, что машина виртуальной реальности передает совершенный круг; и действительно ли она передает его. Мы не можем точно знать это, но это ни на йоту не уменьшает совершенство круга, который фактически передает машина. Я вернусь к этому важному различию — между совершенным знанием (определенностью) относительно какой-либо категории, и «совершенством» самой категории — очень скоро.
Допустим, что мы намеренно модифицируем программу, передающую геометрию Евклида, так, что генератор виртуальной реальности по-прежнему будет передавать круги достаточно хорошо, но менее, чем совершенно. Разве мы не смогли бы сделать какой-либо вывод о совершенных кругах, ощущая эту несовершенную передачу? Это полностью зависело бы от того, знали бы мы, в каких отношениях была изменена программа или нет. Если бы мы это знали, мы могли бы с определенностью решить (за исключением грубых ошибок и т. д.), какие аспекты ощущений, полученных нами внутри машины, представляли совершенные круги точно, а какие неточно. И в этом случае знание, которое мы приобрели там, было бы так же надежно, как и любое знание, которое мы приобрели бы, используя правильную программу.
Представляя круги, мы осуществляем передачу в виртуальной реальности почти такого же рода в своем мозге. Причина того, почему этот способ мышления о кругах не бесполезен, состоит в том, что мы можем создать точные теории о том, какими свойствами совершенных кругов обладают воображаемые нами круги, а какими нет.
Используя совершенную передачу в виртуальной реальности, мы могли бы получить впечатление о шести идентичных кругах, которые касаются кромки седьмого идентичного им круга в плоскости, не перекрывая друг друга. Это впечатление при подобных обстоятельствах было бы эквивалентно точному доказательству возможности такой ситуации, потому что геометрические свойства переданных форм были бы абсолютно идентичны геометрическим свойствам абстрактных форм. Но такой вид «практического» взаимодействия с совершенными формами не способен дать всестороннее знание геометрии Евклида. Большая часть интересных теорем относится не к одной геометрической форме, а к бесконечным классам геометрических форм. Например, сумма углов любого треугольника Евклида равна 180°. Мы можем измерить отдельные треугольники с совершенной точностью в виртуальной реальности, но даже в виртуальной реальности мы не можем измерить все треугольники, и поэтому мы не можем проверить теорему.
Как же мы можем ее проверить? Мы доказываем ее. Традиционно доказательство определяют как последовательность утверждений, удовлетворяющих самоочевидным правилам вывода, но чему физически эквивалентен процесс доказательства? Чтобы доказать утверждение о бесконечно большом количестве треугольников сразу, мы исследуем определенные физические объекты (в данном случае символы), которые обладают общими свойствами с целым классом треугольников. Например, когда при надлежащих обстоятельствах мы наблюдаем символы «АВС DEF» (т. е. «треугольник АВС конгруэнтен треугольнику DEF»), мы делаем вывод, что все треугольники из какого-то определенного конкретным образом класса всегда имеют ту же самую форму, что и соответствующие им треугольники из другого класса, определенного иначе. «Надлежащие обстоятельства», которые придают этому выводу статус доказательства, заключаются, говоря языком физики, в том, что символы появляются на странице под другими символами (некоторые из которых представляют аксиомы геометрии Евклида), и порядок появления символов соответствует определенным правилам, а именно, правилам вывода.
Но какими правилами вывода нам следует пользоваться? Это все равно, что спросить, как следует запрограммировать генератор виртуальной реальности для передачи мира геометрии Евклида. Ответ в том, что нужно использовать те правила вывода, которые, для нашего лучшего понимания, заставят наши символы вести себя в уместной степени как абстрактные категории, которые они обозначают. Как мы можем быть уверены, что они будут вести себя именно так? А мы и не можем быть уверены в этом. Предположим, что некоторые критики возражают против наших правил вывода, потому что они считают, что наши символы будут вести себя отлично от абстрактных категорий. Мы не можем ни взывать к авторитету Аристотеля или Платона, ни доказать, что наши правила вывода безошибочны (за исключением теоремы Геделя, это привело бы к бесконечному регрессу, ибо сначала нам пришлось бы доказать обоснованность самого метода доказательства, используемого нами). Не можем мы и надменно сказать критикам, что у них что-то не в порядке с интуицией, потому что наша интуиция говорит, что символы будут копировать абстрактные категории в совершенстве. Все, что мы можем сделать, — это объяснить. Мы должны объяснить, почему мы думаем, что при определенных обстоятельствах символы будут вести себя желаемым образом в соответствии с высказанными нами правилами. А критики могут объяснить, почему они предпочитают теорию, конкурирующую с нашей. Расхождение во мнениях относительно двух таких теорий — это частично расхождение во мнениях относительно наблюдаемого поведения физических объектов. Такого рода расхождения могут быть адресованы нормальными методами науки. Иногда они легко разрешимы, а иногда — нет. Другой причиной подобного расхождения может стать концептуальный конфликт, связанный с природой самих абстрактных категорий. И вновь дело за конкурирующими объяснениями, на этот раз объяснениями не физических объектов, а абстрактных категорий. Либо мы придем к общему пониманию со своими критиками, либо согласимся, что говорим о двух различных абстрактных объектах, либо вообще не придем к согласию. Нет никаких гарантий. Таким образом, в противоположность традиционному убеждению, споры в математике не всегда можно разрешить с помощью исключительно методологических средств.