Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики
Шрифт:
В 1847 году французский математик Габриель Ламе (1795–1870) в присутствии множества коллег восторженно объявил, что доказал теорему, известную нам как великая теорема Ферма. При этом Ламе не преминул выразить благодарность вдохновившему его Жозефу Лиувиллю (1809–1882), который присутствовал здесь же.
По словам Ламе, без неоценимой помощи Лиувилля он не смог бы… и прочая, и прочая. В ответ совершенно пораженный Лиувилль обратил внимание собравшихся на одну небольшую деталь: доказательство Ламе было верно тогда и только тогда, когда выполнялось одно условие: целые числа определенного класса (далее мы определим их подробнее), как и обычные целые числа, можно разложить на множители единственным способом. Следует отметить, что в этом сомневались немногие. Ламе попытался найти доказательство для этого недостающего звена, но, к его разочарованию, сделать этого не удалось. Как сказал музыкальный критик об одном из произведений Дебюсси: «Его музыка не слишком шумна, но этот шум крайне неприятен». Ламе терял терпение, не в силах справиться с каким-то пустяком.
Тремя годами ранее немецкий математик Эрнст Куммер (1810–1893) опубликовал в малоизвестном журнале контрпример, в котором показал, что целые числа определенного класса можно разложить на множители не единственным способом. Узнав о попытках Ламе, Куммер поспешил отправить коллеге свой контрпример, и Ламе, лишившись надежды, оставил всякие попытки доказать теорему Ферма.
Сегодня известно, что знаменитые целые числа Ламе образуют так называемое квадратичное поле. Во времена ученого этим числам уделялось не слишком много внимания. Для обычных целых чисел, в частности на множестве
, разложение на множители является единственным (если не делать разницы между 1 и —1). Например,
6 = 2·3 = 2·(—3)·(—1) = (—2)·3·(—1) = (—2)·(—3).
Множителями в этом разложении являются 2 и 3. На множестве
[-5] (его элементы — числа вида a + ib5, где а и b — целые), за исключением 1 и —1, разложить это число на множители можно уже не единственным способом:
6 = 2·3 = (1 + i5)·(1 — i5).
К примеру, целое число 6 (если принять, что 1 = —1) можно разложить на множители двумя разными способами.
Как говорится в пословице, нет худа без добра. Куммер начал охоту за доказательством теоремы Ферма, описав идеальные числа, и знаменитая недоказуемая теорема
Не существует тройки целых чисел х, у, z, которые удовлетворяли бы равенству хn + уn = zn для n > 2
была доказана для 100 первых показателей степени (n < 100). Оставалось доказать ее для бесконечного множества чисел.
Эрнст Куммер.
Эрнст Куммер не только увлекался нумерологией, но также был ярым патриотом и славился неспособностью запомнить основы элементарной арифметики — обычные таблицы умножения. Когда ему нужно было использовать таблицу умножения в классе, он обращался к ученикам: «Семь на девять будет… эээ …» — тут какой-нибудь ученик, желая напакостить, обычно подсказывал неверный ответ: «Семь на девять будет шестьдесят один». «Нет, нет, шестьдесят девять», — подсказывал другой ученик, присоединяясь к общему веселью. И тогда бедному Куммеру не оставалось ничего другого, как невинно сказать: «Ну же, господа, давайте остановимся на чем-нибудь одном». Но правильный ответ был необходим, и Куммер начинал рассуждать логически. Сколько же будет 7·9? Числа 60, 62, 64, 66 и 68 не подходят, так как они четные, 61 и 67 не подходят, потому что они простые, 65 не подходит потому, что оканчивается на 5 и, следовательно, делится на 5. 69 тоже не подходит, так как очевидно, что оно слишком велико. Остается 63 — таким и должен быть ответ. Следовательно, 7·9 = 63.
Немецкий математик Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле (1805–1859) питал к числам особые чувства. Рассказывают, что даже ложась спать, он клал под подушку том «Арифметических исследований» Гаусса. А когда у Дирихле родился первый ребенок, он отправил тестю телеграмму:
2 + 1 = 3.
Яснее выразиться невозможно: раньше их было двое, и вот на свет появился третий. Кроме того, телеграммы в то время были очень дороги, так что послание Дирихле было не только лаконичным, но и дешевым. Он не первым и не последним использовал равенство, вынесенное в заголовок: сам Сократ ломал голову над выражением «1 + 1 = 2», будучи не в силах убедиться в его очевидности. Но что можно ожидать от человека, выбравшего своим девизом фразу «Я знаю только то, что ничего не знаю»?
Австрийский физик и математик Людвиг Больцман (1844–1906) как-то стал героем забавной сцены. Ученый умел быстро выполнять расчеты в уме, поэтому его занятия часто были настоящей пыткой для присутствующих: Больцман пропускал множество действий, так как считал очевидными вычисления, произведенные в уме, и даже не записывал их на доске. На одной из лекций его попросили все же расшифровать ход своих мыслей. Больцман покорно пообещал исправиться и продолжил рассуждения: «Как я уже говорил, поскольку pv = p0v0(1 + at) и так далее, и так далее», — однако по-прежнему ничего не записал. Закончил он свою непонятную лекцию бессмертной фразой: «Я верю, что все сказанное выше будет для вас столь же очевидным, как и то, что один плюс один равно двум». И тут, вспомнив о своем обещании записывать все вычисления, он подошел к девственно чистой доске и записал: «1 + 1 = 2».
Несколько позже Бертран Рассел (1872–1970) и Альфред Норт Уайтхед (1861–1947) удивили весь научный мир, создав на заре XX века (в 1910–1913 годах) невероятно сложный и почти недоступный для понимания трехтомный труд по логике, который, вслед за Ньютоном, назвали «Начала математики». Очевидное для непосвященных равенство «1 + 1 = 2», вынесенное в заголовок этой главы, во втором томе книги приводилось как теорема под номером 54.43, а весь первый том, можно сказать, подготавливал для него почву. Чтобы вы могли оценить всю «увлекательность» «Начал математики», приведем лишь один факт: редакция одной уважаемой газеты учредила премию для того, кто докажет, что прочел всю книгу. Премия так и осталась невостребованной. Какое-то время в редакции теплилась надежда, что хотя бы один из соавторов прочел книгу целиком, но эти ожидания были напрасными: и Уайтхед, и Рассел прочли только лично написанную часть труда.
Фрагмент «Начал математики», в котором приводится строгое доказательство равенства 1 + 1 = 2. Сначала, как иронично указано в тексте (здесь явно слышится шутливый тон Рассела), нужно определить операцию сложения.
Огюстен Луи Коши (1789–1857) как-то раз получил по почте объемный труд по теории чисел, в котором доказывалось, что диофантово уравнение
x3 + y3 + z3 = t3
не имеет целых решений. Коши, который отличался саркастичным и довольно насмешливым характером, отправил автору трактата письмо, состоявшее из одной строки:
33 + 43 + 53 = 63.
Нечто подобное произошло с прекрасным французским математиком Альфонсом де Полиньяком (1817–1890), известным сегодня как автор гипотезы о простых числах, представляющей собой обобщение гипотезы Гольдбаха. Полиньяк провозгласил: