Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики

Наварро Хоакин

Любое нечетное число можно представить как сумму степени двойки и простого числа.

Гипотеза не только впечатляла, но и выглядела вполне правдоподобно. Рассмотрим любое число, например 63:

63 = 2⁵ + 31.

Так как 31 простое, то, похоже, гипотеза Полиньяка верна. Прибавим еще один факт: Полиньяк дал понять, что проверил свою гипотезу для всех чисел вплоть до 3000000. Однако, видимо, в его вычисления вкралась ошибка: уже для числа 127 гипотеза не выполняется. Перечислим шесть первых степеней двойки и убедимся в том, что это и в самом деле так:

127 = 2¹ + 125 = 2¹ + 5·25;

127 = 2² + 123 = 2² + 3·41;

127 = 2³ + 119 = 2³ + 7·17;

127 = 2⁴ + 111 = 2⁴ + 3·37;

127 = 2⁵ + 95 = 2⁵ + 5·19;

127 = 2⁶ + 63 = 2⁶ + 3·21.

Однако

следующей степенью двойки будет уже 2⁸ = 128 — число, большее 127. Таким образом, несмотря на заявления Полиньяка, его гипотеза не выполняется для числа 127.

Удивительные расчеты

Следующая история произошла на собрании Американского математического общества в октябре 1903 года. Математик Фрэнк Нельсон Коул (1861–1926) должен был выступить с докладом на тему «О разложении больших чисел на множители».

Выступление Коула было не совсем обычным: он поднялся с места, подошел к доске и записал на ней 2⁶⁷—1 — число Мерсенна М₆₇, которое считалось простым. Далее Коул вычислил значение 267 и вычел из него 1. Присутствующие затаили дыхание, а Коул записал на доске еще два числа и вычислил их произведение: 193707721 x 761838257287. Полученное число 147573952589676412927, как и ожидалось, было равно искомому числу М₆₇. Коул развернулся и проследовал на свое место.

Его доклад длился целый час, и за это время ученый не произнес ни слова. Однако аудитория все равно разразилась аплодисментами.

Следует отметить, что в 1903 году еще не существовало ни калькуляторов, ни алгоритмов, которые используются для работы с числами Мерсенна сегодня. По словам Коула, все необходимые расчеты он провел «за три года по воскресеньям».

В честь этого математического подвига Американское математическое общество учредило премию Коула, которая и сегодня остается очень престижной. За поиском простых чисел Мерсенна можно следить в интернете на сайте проекта Great Internet Mersenne Prime Search . Самым большим простым числом, известным на февраль 2013 года, было М_57885161 — действительно большое число, состоящее из 17 425 170 цифр. И еще: М_5788М61 начинается с цифры 5. Больше об этом числе — ни слова.

Очень большое число

В математике можно говорить о сколь угодно больших числах — конечных, но очень больших, огромных, колоссальных. В 1938 году девятилетний племянник известного математика Эдварда Казнера (1878–1955) придумал число гугол, которое казалось ему невообразимо большим, практически бесконечным. Милтон Сиротта — так звали племянника — определил гугол как единицу, за которой следует 100 нулей.

В математической нотации это число записывается так:

1 гугол = 10¹⁰⁰.

Гугол кажется не слишком впечатляющим — куда больше впечатляет гуголплекс, определяемый как 1, за которым следует гугол нулей:

Долгие годы невинное изобретение Сиротты упоминалось в учебниках математики как любопытная диковинка, пока не появился Google. Этот компьютерный гигант был основан в 1998 году двумя молодыми американскими математиками — Ларри Пейджем (род. 1973) и Сергеем Брином (род. 1973). Сначала проектом компании был только поисковый механизм, который со временем занял важное место в интернете, а затем за ним последовали и другие проекты. Название компании представляет собой один из способов написать слово «гугол». На момент создания Google было проиндексировано всего 24 миллиона интернет-страниц, что достаточно далеко от обещанного гугола, но, как мы знаем, математикам часто присущ оптимизм.

Сага о числе 1729

Число 1729 считается мифическим благодаря известной истории о двух математиках — англичанине Годфри Харолде Харди (1877–1947) и индийце Сринивасе Рамануджане (1887–1920). Харди рассказывал, что как-то раз, навещая Рамануджана в больнице, он, чтобы завести с больным непринужденную беседу, сказал, что приехал на такси с номером 1729 — по словам Харди, это число было «ничем не примечательным». «Вовсе нет, — тут же ответил Рамануджан, — это наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы кубов двумя различными способами». И действительно,

1729 = 12³ + 1³ = 9³ + 10³.

На доказательство этого утверждения, которое у Рамануджана родилось мгновенно, Харди потратил несколько недель. Позднее число 1729 дало начало целому подразделу теории чисел, который изучает так называемые числа Рамануджана — Харди.

Этот рассказ очень известен и подтвержден документально. Он позволяет понять, как работает ум гениального математика, каким Рамануджан, без сомнений, был. Однако не будем забывать о том, чем эта история закончилась, и здесь не обойтись без упоминаний еще об одном гении из мира математики и физики — о нобелевском лауреате Ричарде Фейнмане (1918–1988).

Как рассказывает сам Фейнман в книге «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!», число 1729 помогло ему победить японского продавца счетов, который заявил, что может выполнять действия с числами быстрее всех. Убедившись, что чем сложнее становились вычисления, тем чаще Фейнман выигрывал, японец предложил ему задачу на извлечение кубических корней. Он попросил Фейнмана выбрать число, из которого нужно было извлечь кубический корень — и допустил промашку, потому что Фейнман сразу же выбрал 1729. Это число не вызвало у продавца подозрений, а

что можно с легкостью записать на бумаге и разложить в ряд Тейлора:

Этих членов уже достаточно для того, чтобы получить

Фейнман тут же одержал над продавцом победу. Рамануджан, должно быть, с улыбкой смотрел на это с небес, из нирваны или любого другого места, где он сейчас находится.

Индийская марка, выпущенная в честь Сринивасы Рамануджана — величайшего математика в истории Индии.