Теория струн и скрытые измерения вселенной

Яу Шинтан

Основная идея параллельного переноса проиллюстрирована на рис. 4.3 для поверхности с двумя вещественными измерениями или одним комплексным (поверхность с большим числом измерений нарисовать проблематично). Впрочем, этот случай скорее тривиален, поскольку число возможных направлений поворота ограничено числом два: влево и вправо.

Однако уже для двух комплексных измерений (четырех вещественных) число векторов определенной длины, перпендикулярных любому заданному вектору, бесконечно велико. Эти векторы образуют касательное пространство, которое в двухмерном случае можно представить как огромный кусок фанеры, лежащий на верхушке баскетбольного мяча. В этом случае знание того, что необходимый нам вектор перпендикулярен некоему другому, известному нам, едва ли заметно упростит его нахождение — если только многообразие, которому он принадлежит, не является кэлеровым. Для кэлерова многообразия, зная вектор, полученный при повороте на 90 градусов (J-преобразовании) в одной из точек многообразия,

можно точно предсказать величину и направление подобных векторов в любой другой точке, поскольку параллельный перенос дает возможность переместить этот вектор из первой точки во вторую.

Рис. 4.3. На первом рисунке изображен параллельный перенос вектора V из точки P в точку Q, в которой этот вектор приобретает новое имя W₁. Затем при помощи так называемой J-операции вектор W₁ поворачивается на 90 градусов. Повернутый вектор носит название JW₁. На втором рисунке J-операция проводится над вектором V в точке P, результатом которой становится новый вектор (повернутый на 90 градусов) — JV. При помощи параллельного переноса этот вектор перемещают в точку Q, где он получает новое имя W₂. В обоих случаях результирующие векторы будут одинаковы. Это один из признаков кэлерова многообразия, а именно независимость результата от последовательности, в которой выполняются операции поворота и параллельного переноса. Эти две операции коммутируют, то есть порядок их выполнения не имеет значения

Существует еще один способ показать, что эта простая операция (поворот на 90 градусов, или J-преобразование) тесно связана с симметрией. Этот тип симметрии называется четырехкратной симметрией, поскольку при каждом J-преобразовании вектор поворачивается на 90 градусов. В результате четырех последовательных преобразований вектор повернется на 360 градусов и, пройдя полный круг, вернется в начальную точку. Иначе говоря, два J-преобразования аналогичны умножению на -1. Четыре преобразования приведут к умножению вектора на единицу (-1x-1=1). В результате мы вернемся к тому, с чего начали.

Очевидно, что данная симметрия применима только к касательному пространству в определенной точке, но для того чтобы это свойство было действительно полезным, четырехкратная симметрия должна сохраняться и при перемещении по всему пространству. Эта согласованность является важной особенностью внутренней симметрии. Представьте себе стрелку компаса, которая характеризуется двухкратной симметрией в том смысле, что она может указывать только в двух направлениях — северном и южном. Если при вращении компаса в пространстве его стрелка будет беспорядочным образом указывать то на север, то на юг без какой-либо причины, можно сделать вывод о том, что пространство, в котором вы находитесь, либо не обладает соответствующей симметрией, либо не имеет заметного магнитного поля (либо вам пора покупать новый компас). Аналогично, если J-операция дает разные результаты в зависимости от положения точки на многообразии и направления поворота, то это означает, что в многообразии отсутствуют порядок и предсказуемость, обеспечиваемые симметрией. Более того, вы можете быть уверены, что это многообразие не кэлерово.

Внутренняя симметрия, во многом определяющая кэлеровы многообразия, ограничена касательным пространством к данным многообразиям. Это может иметь определенные преимущества, поскольку на касательном пространстве результат любой операции не зависит от выбора системы координат. Именно это свойство — независимость результатов операции от выбора системы координат — представляет чрезвычайный интерес как с геометрической, так и с физической точки зрения. Проще говоря, если результаты зависят от выбора ориентации осей или начала координат, то для нас они неинтересны.

Рис. 4.4. На рисунке проиллюстрирован простой и весьма очевидный факт: квадрат имеет четырехкратную симметрию относительно его центра. Иными словами, повернув квадрат четыре раза на 90 градусов, мы получим исходную фигуру. Поскольку J-операция представляет собой поворот на 90 градусов, она также имеет четырехкратную симметрию, и четыре поворота приведут к исходному объекту. Формально говоря, J-операция действует только на касательные векторы, поэтому она — весьма грубый аналог вращения фигуры, подобной квадрату. J-преобразование, как обсуждается в тексте, является вещественным

аналогом умножения на i. Умножение некого числа на i четыре раза равноценно умножению его на единицу, и оно, подобно проведенной четыре раза J-операции, неизбежно приведет к тому числу, с которого мы начали

Требование внутренней симметрии наложило на представленный Калаби математический мир ряд дополнительных ограничений, значительно упростив его и сделав проблему доказательства его существования потенциально разрешимой. Впрочем, Калаби не обратил внимания на некоторые другие следствия из его теории; на самом деле внутренняя симметрия, наличие которой он предположил для своих многообразий, является особой разновидностью суперсимметрии, что особенно важно для теории струн.

Последние два фрагмента нашей мозаики — классы Черна и кривизна Риччи — возникли из попыток геометров обобщить одномерные римановы поверхности на случай многих измерений и затем попытаться математически описать различия между ними. Это привело к возникновению важной теоремы, относящейся к компактным римановым поверхностям, — как, впрочем, и ко всем компактным поверхностям, не имеющим границ. Определение границы в топологии дается скорее на интуитивном уровне: диск имеет границу, или четко определенный край, тогда как сфера границы не имеет. На поверхности сферы можно сколь угодно долго двигаться в любом направлении, никогда не достигая никакой границы и даже не приближаясь к ней.

Теорема, сформулированная в XIX веке Карлом Фридрихом Гауссом и французским математиком Пьером Бонне, связала геометрию поверхности с ее топологией.

Согласно формуле Гаусса-Бонне, общая гауссова кривизна подобных поверхностей равна произведению эйлеровой характеристики поверхности на 2. Эйлерова характеристика, обозначаемая греческой буквой («хи»), в свою очередь равна 2–2g, где g — это род (число «дырок» или «ручек» на данной поверхности). К примеру, эйлерова характеристика двухмерной сферы, не имеющей дырок, будет равна 2. Эйлер вывел отдельную формулу для нахождения эйлеровых характеристик любого многогранника: =V-E+F, где V — число вершин, E — число ребер, a F — число граней. Для тетраэдра =4-6+4=2, точно так же, как и для сферы. Для куба, имеющего 8 вершин, 12 ребер и 6 граней, =8-12+6=2 — снова то же, что и для сферы. Причина того, что эти топологически идентичные (хотя и геометрически различные) объекты имеют одинаковую величину заключается в том, что эйлеровы характеристики всецело определяются топологией объекта и не зависят от его геометрии. Эйлерова характеристика стала первым из основных топологических инвариантов пространства — величин, остающихся неизменными — инвариантными — для пространств, имеющих совершенно различный внешний вид, подобно являющимся топологически эквивалентными сфере, тетраэдру и кубу.

Вернемся к формуле Гаусса-Бонне. Общая гауссова кривизна двухмерной сферы будет равна 2x2, или 4. Кривизна двухмерного тора равна нулю, поскольку в нем имеется одна дырка и, следовательно, =2-2g=2-2=0. Обобщение принципа Гаусса-Бонне на случай большего числа измерений приводит к возникновению так называемых классов Черна. Классы Черна были созданы моим руководителем и наставником Ч. Ш. Черном как весьма грубый математический метод охарактеризовать различия между многообразиями. Говоря простыми словами, многообразия, для которых имеются разные классы Черна, не могут быть одинаковы, хотя обратное верно далеко не всегда: многообразия могут иметь один и тот же класс Черна и при этом оставаться различными.

Для имеющих одно комплексное измерение римановых поверхностей существует только один класс Черна, а именно первый, в данном случае совпадающий с эйлеровой характеристикой. Количество классов Черна для конкретного многообразия зависит от количества измерений. К примеру, многообразие с двумя комплексными измерениями имеет первый и второй классы Черна. Многообразия, представляющие большой интерес для теории струн — обладающие тремя комплексными (или шестью вещественными) измерениями, — имеют три класса Черна. В этом случае первый класс Черна приписывает двухмерным подпространствам шестимерного многообразия (их можно представить как набитую двухмерными листами бумаги трехмерную комнату) определенные целые коэффициенты. Второй класс Черна присваивает коэффициенты четырехмерным подмногообразиям шестимерного пространства. Третий класс присваивает определенное число, а именно эйлерову характеристику , всему многообразию, имеющему три комплексные размерности и шесть вещественных. Для многообразий, имеющих n комплексных измерений, последний класс Черна — n– й класс — всегда равен эйлеровой характеристике.