Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике

Салес Жузеп

Iim_B->Atg(угол i) = AT/RT = tg  — это тангенс угла наклона прямой x (касательной к графику функции f(x) в точке A).

Значение Iim_B->Atg(угол i) = (AT/RT)•(угол i) = AT/RT

называется производной функции f(х) в точке А и совпадает со значением тангенса угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Производная любой функции рассчитывается по правилам дифференцирования, выведенным с помощью пределов, приведенных выше. При анализе зависимостей используются таблицы производных для произвольных функций.

* * *

Точка пересечения кривой средних издержек и кривой предельных издержек соответствует оптимальному объему производства, так как она совпадает с точкой минимума средних издержек. Логично, что компании всегда стремятся производить продукцию при минимальных затратах.

Кривые средних и предельных издержек.

Тем не менее эта задача не так проста, поскольку для достижения оптимального объема производства нужно учитывать, что для выпуска заданного объема продукции при заданной технологии можно использовать разные сочетания факторов производства. Как определить оптимальное соотношение факторов для предприятия?

Для простоты предположим, что существует всего два фактора производства, А и В. Введем новое понятие — предельной продуктивности фактора производства, то есть отношение прироста продукции, вызванного увеличением фактора производства на единицу, к приросту затрат, вызванных увеличением этого фактора производства.

При сравнении производительности двух факторов производства оптимальным из них будет тот, при котором выполняется равенство:

< image l:href="#"/>

Для изучения экономического, общественного или статистического процесса, для которого известна соответствующая ему его функция f(х), при изменении значения переменной х нужно рассматривать график этой функции, описывающий этот процесс с точки зрения математики.

Где и как хранить сбережения

Оцениваем выгодность вложений

Простейший способ размещения сбережений — это банковский вклад или вложение в инвестиционный фонд. Существуют и более сложные способы разместить сбережения, например игра на бирже или инвестиции в бизнес-проекты. Доход по банковскому вкладу выплачивается в виде процентов. Инвестиционный фонд позволяет получить доход на вложенные средства, а по ценным бумагам, котирующимся на бирже, выплачиваются дивиденды, и инвестор, при благоприятном для него изменении курса, получает доход в виде прибавочной стоимости. Окупаемость инвестиций (англ. ROI) равняется величине полученной прибыли, разделенной на величину вложенного капитала, и выражается в процентах:

Критерий окупаемости вложенного капитала используется для оценки выгодности инвестиций и бизнес-проектов.

Уровень дохода от инвестиций можно сравнить с уровнем доходности по банковскому вкладу и определить, является ли инвестиционный проект более выгодным, чем банковский вклад. Эта доходность инвестиций называется экономической добавленной стоимостью. Когда инвестор получает прибыль В на вложенный капитал С, нужно сравнить прибыль В с прибылью, которую получил бы инвестор, если бы поместил капитал С на банковский вклад под процент i. Таким образом,

Экономическая добавленная стоимость = В — i•С.

Например, если инвестор вложил 1000 долларов и получил 110 долларов прибыли, а процентная ставка, предлагаемая банком, равняется 5 %, то окупаемость инвестиций и экономическая добавленная стоимость будут соответственно равны:

Окупаемость инвестиций = (110/1000)•100 = 11 %.

Экономическая добавленная стоимость = 110 — (1000•0,05) = 60 долларов.

Когда речь идет об инвестициях, нужно понимать разницу между реальными и финансовыми инвестициями. Реальные инвестиции — это вложения капитала в различные факторы производства (оборудование, сырье, электроэнергию, технологии и т. д.) с целью получения товаров и услуг. Реальные инвестиции относятся к так называемому реальному сектору экономики. Финансовые инвестиции представляют собой вложения в финансовую систему и приносят доход исключительно как результат обращения денег: деньги преобразовываются в банковские вклады, финансовые инструменты, акции и облигации, базовые активы, опционы, фьючерсы, производные финансовые инструменты, варранты и т. д.

Размещение сбережений на бирже — довольно сложная операция, так как здесь начинают действовать различные дополнительные факторы: знание рынка и финансовых активов, в которые планируется вложить средства и которые можно приобрести; определение благоприятного момента для покупки и продажи; осознание рисков, которыми сопровождаются операции; анализ изменения рыночной ситуации, затрагивающей ценные бумаги, в которые планируется вложить средства или которые уже имеются в инвестиционном портфеле, а также перспективы этих бумаг. Все эти вопросы будут рассмотрены в следующей главе.

В этой же главе речь пойдет о реальных инвестициях. Простой пример — бизнес, который каждый год приносит постоянный доход а_i  = 1000 евро на вложенный капитал х (его величина в этой задаче является неизвестной). Если нам известен годовой показатель окупаемости r инвестиций х, например r = 5 %, можно определить объем вложенного капитала.

По формуле простых процентов получим:

а_i  = r•х,

х = а_i/r.

Следовательно, 1000 = r•х, откуда х = 1000/0,05 = 20000. Капитал, позволяющий получать постоянный доход в 1000 евро в год, равен 20 000 евро.

Любые инвестиции в бизнес или промышленность предполагают несение расходов в первый год, а также получение прибылей или несение убытков ежегодно в течение всего срока инвестирования. Следовательно, речь идет о денежном потоке, который в первый год является отрицательным (расходы), а в последующие годы, когда проект или предприятие набирает обороты, — положительным (доходы), однако первые несколько лет работы проекта также могут оказаться убыточными.