Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

Дуран Антонио

Если читатель посмотрит на иллюстрацию на странице 50, он увидит, что это не что иное, как наглядное представление теоремы Гурвица. В самом деле, изобразим иррациональное число на числовой оси и проведем через соответствующую ему точку прямую, перпендикулярную числовой оси, как показано на следующем рисунке. Всякий раз, когда эта прямая будет пересекать окружность Форда (допустим, окружность, соответствующую рациональному числу p/q), разница между а и p/q обязательно будет меньше, чем радиус окружности, то есть меньше, чем 1/(2·q²): |a — р/q| < 1/(2·q²).

Как мы уже показали, окружности Форда, касающиеся окружности, которая соответствует дроби р/q, образуют последовательность, которая неизбежно приближается к р/q

и в итоге «кусает» ее (см. рис. на стр. 51). Таким образом, если прямая, проведенная через точку, обозначающую иррациональное число а, пересекает окружность Форда, соответствующую дроби р/q, то она пересечет и другую окружность, касающуюся этой и расположенную под ней (см. следующий рисунок), а также окружность, расположенную под этой, и так далее. Отсюда следует, что прямая, соответствующая иррациональному числу, пересечет бесконечное множество окружностей Форда. Таким образом, существует бесконечное множество дробей р/q, удовлетворяющих неравенству |а — p/q| < 1/(2·q²). Это необычное следствие особого расположения окружностей Форда лежит на полпути между теоремами Дирихле и Гурвица, так как полученная нами константа равна 1/2, а согласно теоремам Дирихле и Гурвица она равняется 1 и 1/5.

С помощью окружностей Форда также можно получить оптимальное значение этой константы, описываемое теоремой Гурвица. В самом деле, на верхнем рисунке на стр. 50, помимо окружностей Форда, представлены и другие фигуры — криволинейные треугольники, заключенные между любыми тремя касательными окружностями. Эти треугольники также обладают очень важными свойствами. Так, первая координата всех трех вершин подобных треугольников является рациональным числом. Рассмотрим криволинейный треугольник, образованный касательными окружностями Форда, которые соответствуют дробям p/q, p₂/q₂ и р₃/q₃. Обозначим вершины этого треугольника через А, В и С. Пусть А₁ — первая координата вершины А, В₁ — первая координата вершины В, С₁ — первая координата вершины С. Нетрудно видеть, что

Так как первые координаты вершин треугольника — рациональные числа, прямая, проведенная через точку, соответствующую иррациональному числу а на числовой прямой, пересечет не только бесконечное множество окружностей Форда, но и бесконечное число криволинейных треугольников. Если большая из трех окружностей, образующих криволинейный треугольник, расположена справа, то в зависимости от значений координат А и В₁ (в зависимости от того, какая из них больше) эти треугольники будут иметь один из двух различных видов, как показано на рисунках.

Подробный анализ этих двух случаев позволяет сделать вывод: всякий раз, когда прямая, соответствующая иррациональному числу а, пересекает криволинейный треугольник первого вида (при А₁ < B₁  см. рисунок выше), разность между а и p₂/q₂ будет строго меньше, чем 1/(5·q²₂). Всякий раз, когда прямая, соответствующая иррациональному числу а, пересекает криволинейный треугольник второго вида (при A₁ > B₁ см. следующий рисунок), разность между а и р₃/q₃ будет строго меньше, чем 1/(5·q²₃). В любом случае пересечения прямой, соответствующей иррациональному числу а, и сторон криволинейных треугольников определят бесконечное множество дробей p/q таких, что |а — р/q| < 1/(5·q²). Иными словами, последовательность криволинейных треугольников, порожденных окружностями Форда, есть геометрическое представление теоремы Гурвица.

Хулита, или диофантово уравнение p² + q² + r² = 3pqr

В нашей истории есть и третий персонаж — диофантово уравнение р² + q² + r² = 3·р·q·r, — которого я сравнил с Хулитой, еще одной героиней романа «Улей».

Диофантово уравнение — это всего лишь алгебраическое уравнение, как правило, от нескольких переменных, однако нас интересуют лишь те его решения, которые являются целыми числами (или рациональными, что в некоторых случаях одно и то же). Эти уравнения получили свое название в честь

древнегреческого математика Диофанта Александрийского. О нем мы знаем немного больше того, что сказано в его эпитафии: «Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком. И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругой он обручился. С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец; Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе. Тут и увидел предел жизни печальной своей» [7] . Решив эту задачу, получим, что Диофант прожил 84 года. Предположительно, он жил в II–III веках.

7

Перевод С. Н. Боброва. — Примеч. ред.

Нам известно, что Диофант был автором нескольких трудов, важнейший из них — «Арифметика». Из тринадцати книг «Арифметики» сохранилось шесть книг на древнегреческом и еще четыре — в переводе на арабский.

Обложка «Арифметики» Диофанта, изданной в 1621 году с комментариями французского математика Баше де Меризиака.

* * *

ДИОФАНТОВО УРАВНЕНИЕ

Задача, описанная на этой странице, приводится во второй книге «Арифметики» под номером 15. Диофант нашел ее решение следующим образом. Он обозначил через р и q квадраты двух последовательных чисел, так как ему было известно, что их произведение, увеличенное на их сумму, также является квадратом. В самом деле, если р = m², q = (m + 1)², то:

p·q + p + q = m²·(m + 1)² + m² + (m + 1)² = m⁴ + 2·m³ + 4·m² + 2·m + 1 = (m²  + m + 1)².

В частности, Диофант использовал р = 4 и q = 9. Таким образом, p·q + p + q обязательно будет квадратом: 4·9 + 4 + 9 = 7². Две остальные величины будут таковы: 4·n + 4 + n = 5·n + 4 и 9·n + 9 + n = 10·n + 9. Таким образом, нужно найти число n такое, что и 10·n + 9, и 5·n + 4 будут квадратами. Далее Диофант ввел еще две вспомогательные переменные, r и k, определяемые уравнениями r²  = 10·n + 9 и k² = 5·n + 4. Имеем

r² — k² = 10·n + 9–5·n — 4 = 5·n + 5,

что можно записать как (r + k)·(r — k) = 5·(n + 1). Таким образом, r + k = 5 и r — k = n + 1. Выразив r и k из этих равенств, получим: r = (n/2) + 3 и k = 2 — (n/2). Подставив значение r в уравнение r² = 10·n + 9 и упростив полученное выражение, получим уравнение второй степени (n²/4) = 7·n = 0. Его решением будет n = 28.

* * *

Приведем пример уравнений, которые рассматривает Диофант в своей «Арифметике»: «Найти три таких числа, что произведение любых двух из них, увеличенное на их сумму, будет квадратом». Если мы обозначим искомые числа через р, q и n, тo p·q + p + q, p·n + p = n и q·n + q + n должны быть квадратами. Диофант привел решение р = 4, q = 9 и n = 28. В самом деле, р·q + q = 49 = 7², р·n + р + n = 289 = 17², q·n + q + n = 144 = 12² (см. врезку). Такие уравнения были известны древним грекам задолго до Диофанта. Первое из них, несомненно, выглядело так: найти натуральные числа m и n такие, что m² = 2·n². Как вы уже знаете, Пифагор доказал, что это уравнение не имеет решений: если бы они существовали, то 2 было бы рациональным числом.

Другое диофантово уравнение, также изученное до Диофанта, имело отношение к теореме Пифагора: требовалось найти все натуральные числа р, q, r, которые были бы решениями уравнения р² + q² = r². Согласно теореме Пифагора, точнее обратной ей теореме, такие числа р, q, r являются сторонами прямоугольного треугольника. Тройки чисел, удовлетворяющих этому уравнению, стали называться пифагоровыми тройками. В книге X «Начал» Евклида приведено общее решение этой задачи: для произвольных натуральных чисел m, n и k