Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
Если мы проведём отрезок BSD, образующий с вертикалью угол , то касательные BX, DY, GZ, … будут вертикальными, а точки X, Y, Z, … окажутся крайними точками последовательных осцилляций.
734. При наблюдении колеблющихся тел отмечаются:
(1). Показания шкалы в стационарных точках. Они называются элонгациями.
(2). Моменты прохождения определённого деления шкалы в положительном или отрицательном направлении.
(3). Показания шкалы в определённые моменты
2 См. Gauss and W. Weber, Resultate des magnetischen Vereins, 1836. Chap. II, p. 34-50.
Мы должны определить следующие величины:
(1). Показание шкалы в положении равновесия.
(2) Логарифмический декремент колебаний.
(3). Время одного колебания.
Как определить показание шкалы в положении равновесия через три последовательные элонгации
735. Допустим, мы засекли три показания шкалы x, x, x, соответствующие элонгациям X, Y, Z, и пусть a -показание в положении равновесия S, а r, -значение величины SB, тогда
x-a
=
r
sin
,
x-a
=
r
sin
e
– ctg
,
x-a
=
r
sin
e
– 2 ctg
.
Из этих величин мы находим
(x-a)
(x-a)
=
(x-a)^2
Откуда
a
=
xx+x^2
x+x-2x
.
Если x не очень сильно отличается от x, мы можем пользоваться приближённой формулой
a
=
1/4 (x+2x+x)
.
Как найти логарифмический декремент
736. Логарифмическим декрементом называется логарифм отношения амплитуды какого-либо колебания к амплитуде следующего за ним колебания. Если мы обозначим это отношение через :
=
x-x
x-x
,
L
=
lg
,
=
ln
,
то величина L называется обычным логарифмическим декрементом, а величина - неперовским логарифмическим декрементом. Очевидно, что =L ln 10= ctg .
Следовательно, =arcctg(/) определяет угол логарифмической спирали.
Для определения величины нужно позволить телу совершить значительное число колебаний. Если c - амплитуда первого, а cn– амплитуда n -го колебания, то
=
1
n-1
ln
c
cn
.
Если мы предположим, что точность наблюдений при малых и при больших колебаниях одинакова, то для получения наилучшего значения мы должны были бы дать возможность затухать колебаниям до тех пор, пока отношение c к cn не станет приближённо равным основанию натуральных логарифмов e. Это даёт для n значение ближайшего к (1/)+1 целого числа.
Поскольку, однако, в большинстве случаев время дорого, то лучше провести другую серию наблюдений, не дожидаясь такого значительного уменьшения амплитуды.
737. В некоторых случаях может оказаться, что мы должны определить положение равновесия по двум соседним элонгациям, когда логарифмический декремент известен из специально проведённого опыта. Тогда мы имеем
a
=
x+ex
1+e
.
Время одного колебания
738. После определения показания шкалы, соответствующего точке равновесия, в эту точку шкалы или как можно ближе к ней помещается хорошо различимая метка и для нескольких последовательных колебаний замечаются моменты прохождения этой метки.
Допустим, что метка смещена в положительном направлении от точки равновесия на неизвестное, но очень малое расстояние x, и пусть t - зарегистрированный момент времени первого прохождения метки в положительном направлении, а t, t, … - моменты последующих прохождений.
Если T - время одного колебания (полупериод), а P, P, P, … - моменты прохождения точки истинного равновесия, то
t
=
P
+
x
v
,
t
=
P
+
x
v
,
P
–
P
=
P
–
P
=
T,
где v, v, … - последовательные значения скоростей прохождения, которые на очень малых расстояниях x мы можем считать постоянными.
Если есть отношение амплитуды какого-либо колебания к амплитуде последующего колебания, то
v
=-
1
v
и
x
v
=
–
x
v
.
Если три прохождения наблюдались в моменты времени t, t, t, мы находим
x
v
=
t-2t+t
(+1)^2
.
Следовательно, время одного колебания равно
T
=
1
2
(t-t)
–
1
2
– 1
+1
(t-2t+t)
.
Момент второго прохождения истинной точки равновесия равен
P
=