Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Максвелл Джеймс Клерк

Если мы проведём отрезок BSD, образующий с вертикалью угол , то касательные BX, DY, GZ, … будут вертикальными, а точки X, Y, Z, … окажутся крайними точками последовательных осцилляций.

734. При наблюдении колеблющихся тел отмечаются:

(1). Показания шкалы в стационарных точках. Они называются элонгациями.

(2). Моменты прохождения определённого деления шкалы в положительном или отрицательном направлении.

(3). Показания шкалы в определённые моменты

времени. Подобного рода наблюдения проводятся редко, лишь в случае колебаний с большим периодом ².

² См. Gauss and W. Weber, Resultate des magnetischen Vereins, 1836. Chap. II, p. 34-50.

Мы должны определить следующие величины:

(1). Показание шкалы в положении равновесия.

(2) Логарифмический декремент колебаний.

(3). Время одного колебания.

Как определить показание шкалы в положении равновесия через три последовательные элонгации

735. Допустим, мы засекли три показания шкалы x, x, x, соответствующие элонгациям X, Y, Z, и пусть a -показание в положении равновесия S, а r, -значение величины SB, тогда

x-a

=

r

sin

,

x-a

=

r

sin

e

^{– ctg}

,

x-a

=

r

sin

e

^{– 2 ctg}

.

Из этих величин мы находим

(x-a)

(x-a)

=

(x-a)^2

Откуда

a

=

xx+x^2

x+x-2x

.

Если x не очень сильно отличается от x, мы можем пользоваться приближённой формулой

a

=

1/4 (x+2x+x)

.

Как найти логарифмический декремент

736. Логарифмическим декрементом называется логарифм отношения амплитуды какого-либо колебания к амплитуде следующего за ним колебания. Если мы обозначим это отношение через :

=

x-x

x-x

,

L

=

lg

,

=

ln

,

то величина L называется обычным логарифмическим декрементом, а величина - неперовским логарифмическим декрементом. Очевидно, что =L ln 10= ctg .

Следовательно, =arcctg(/) определяет угол логарифмической спирали.

Для определения величины нужно позволить телу совершить значительное число колебаний. Если c - амплитуда первого, а c_n– амплитуда n -го колебания, то

=

1

n-1

ln

c

c_n

.

Если

мы предположим, что точность наблюдений при малых и при больших колебаниях одинакова, то для получения наилучшего значения мы должны были бы дать возможность затухать колебаниям до тех пор, пока отношение c к c_n не станет приближённо равным основанию натуральных логарифмов e. Это даёт для n значение ближайшего к (1/)+1 целого числа.

Поскольку, однако, в большинстве случаев время дорого, то лучше провести другую серию наблюдений, не дожидаясь такого значительного уменьшения амплитуды.

737. В некоторых случаях может оказаться, что мы должны определить положение равновесия по двум соседним элонгациям, когда логарифмический декремент известен из специально проведённого опыта. Тогда мы имеем

a

=

x+ex

1+e

.

Время одного колебания

738. После определения показания шкалы, соответствующего точке равновесия, в эту точку шкалы или как можно ближе к ней помещается хорошо различимая метка и для нескольких последовательных колебаний замечаются моменты прохождения этой метки.

Допустим, что метка смещена в положительном направлении от точки равновесия на неизвестное, но очень малое расстояние x, и пусть t - зарегистрированный момент времени первого прохождения метки в положительном направлении, а t, t, … - моменты последующих прохождений.

Если T - время одного колебания (полупериод), а P, P, P, … - моменты прохождения точки истинного равновесия, то

t

=

P

+

x

v

,

t

=

P

+

x

v

,

P

–

P

=

P

–

P

=

T,

где v, v, … - последовательные значения скоростей прохождения, которые на очень малых расстояниях x мы можем считать постоянными.

Если есть отношение амплитуды какого-либо колебания к амплитуде последующего колебания, то

v

=-

1

v

и

x

v

=

–

x

v

.

Если три прохождения наблюдались в моменты времени t, t, t, мы находим

x

v

=

t-2t+t

(+1)^2

.

Следовательно, время одного колебания равно

T

=

1

2

(t-t)

–

1

2

– 1

+1

(t-2t+t)

.

Момент второго прохождения истинной точки равновесия равен

P

=