Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
=-
+
(+1)
,
или
^2
=
+
(+1)^2
,
и если направление тока меняется на противоположное последовательно n раз, мы находим
(-1)
n
n
=
– n
+
+1
– 1
(1-
– n
)
,
откуда
=
(
n
–
– n
)
– 1
1
.
+1
1-
– n
Если число n столь велико, что величиной – n можно пренебречь, то это выражение принимает вид
=
– 1
+1
.
Для применения этого метода при точных измерениях необходимо точно знать - величину отношения амплитуд двух соседних колебаний, зависящую от сопротивлений, действующих на магнит. Неточности, возникающие из-за того, что трудно избежать неопределённости в значении , обычно перевешивают преимущества больших угловых отклонений. И только когда мы хотим установить существование очень малых токов, создавая с их помощью видимое движение стрелки, этот метод действительно полезен.
Об измерении переходных токов
748. Когда ток длится только в течение небольшой доли времени колебания магнита гальванометра, общее количество электричества, перенесённое током, можно измерить через угловую скорость, сообщённую магниту за время прохождения тока; эту величину можно определить по величине максимального отклонения при первом колебании магнита.
Если мы пренебрежём сопротивлением, которое приводит к затуханию колебаний магнита, исследование становится очень простым.
Пусть -сила тока в произвольный момент времени, а Q - количество электричества, которое он переносит; тогда
Q
=
dt
.
(1)
Пусть M - магнитный момент, A - момент инерции магнита вместе с подвешенной аппаратурой, а -угол, который образует магнит с плоскостью катушки; тогда
A
d^2
dt^2
+
MH
sin
=
MG
cos
.
(2)
Если время прохождения тока очень мало, мы можем произвести интегрирование по t в течение этого короткого промежутка времени, не принимая во внимание изменение , и мы найдём
A
d
dt
+
MG
cos
dt
+
C
=
MGQ
cos
+
C
.
(3)
Отсюда видно, что прохождение заряда Q создаёт момент количества движения магнита, равный MGQ cos , где есть значение в момент прохождения тока. Если первоначально магнит находился в положении равновесия, мы можем положить =0, C=0.
Далее магнит свободно поворачивается и достигает отклонения . Если сопротивление отсутствует, работа, совершаемая против магнитной
Энергия, сообщённая магниту током, равна
1
2
A
d
dt
^2
.
Приравнивая эти величины, мы находим
d
dt
^2
=
2
MH
A
(1-cos )
,
(4)
откуда
d
dt
=
2
MH
A
1/2
sin 1/2
=
MG
A
Q
(согласно (3)).
(5)
Но время T одного колебания магнита от состояния покоя до состояния покоя равно
T
=
A
MH
1/2
,
(6)
и мы находим
Q
=
H
G
T
2sin 1/2
,
(7)
где H - горизонтальная магнитная сила, G - коэффициент гальванометра, T - время одного колебания и - величина первого максимального отклонения магнита.
749. Во многих реальных экспериментах углы максимального отклонения невелики, поэтому мы легко можем учесть действие сопротивления, ибо можем рассматривать уравнение движения как линейное уравнение.
Пусть магнит находится в положении равновесия в состоянии покоя, пусть ему мгновенно сообщена угловая скорость v, и пусть его первая элонгация равна
Уравнение движения следующее:
=
Ce
– t tg
sin t
,
(8)
d
dt
=
C
sec
e
– t tg
cos(t+)
.
(9)
Когда
t=0,
=0
и
d
dt
=
C
=
v
.
Когда
t
+
=
2
,
–
2
–
tg
=
Ce
cos
=
.
(10)
Следовательно,
–
2
–
tg
=
v
e
cos
.
(11)