Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Максвелл Джеймс Клерк

Томсоновский метод вращающейся катушки

763. Этот метод был предложен Томсоном Комитету Британской Ассоциации Электрических Стандартов; эксперимент был выполнен Бэлфором Стьюартом (Balfour Stewart), Флемингом Дженкином (Fleeming Jenkin) и автором в 1863 г.³

³ См. Report of the British Association for 1863, p. 111-176.

Круглая катушка приводится во вращение с постоянной скоростью вокруг вертикальной оси. В центре катушки на шёлковой нити подвешивается небольшой магнит. Электрический ток в катушке индуцируется

земным магнетизмом, а также подвешенным магнитом. Ток этот является периодическим; в различные интервалы времени каждого оборота он протекает через провод катушки в противоположных направлениях, но действие тока на подвешенный магнит создаёт постоянное отклонение от магнитного меридиана в направлении вращения катушки.

764. Пусть H - горизонтальная составляющая земного магнетизма.

Пусть - сила тока в катушке,

g - общая площадь, охватываемая всеми витками провода;

G - магнитная сила в центре катушки, создаваемая единичным током;

L - коэффициент самоиндукции катушки;

M - магнитный момент подвешенного магнита;

– угол между плоскостью катушки и магнитным меридианом;

– угол между осью подвешенного магнита и магнитным меридианом;

A - момент инерции подвешенного магнита;

MH - коэффициент кручения нити подвеса;

– азимут магнита в отсутствии кручения;

R - сопротивление катушки.

Кинетическая энергия системы равна

T

=

1/2 L^2

–

Hg

sin

–

HG

sin (-)

+

MH

cos

+

+

1/2 A^2

.

(1)

Первый член, равный 1/2 L^2, выражает энергию тока, зависящую только от самой катушки. Второй член определяется взаимодействием тока и земного магнетизма, третий - взаимодействием тока и магнетизма подвешенного магнита, четвёртый - взаимодействием магнетизма подвешенного магнита и земного магнетизма, последний член выражает кинетическую энергию вещества, образующего магнит и движущуюся вместе с ним подвешенную аппаратуру.

Потенциальная энергия подвешенной аппаратуры, возникающая из-за кручения нити, равна

V

=

MH

2

(^2-2)

.

(2)

Электромагнитный импульс тока равен

p

=

dT

d

=

L

–

Hg

sin

–

MG

sin(-)

,

(3)

и если R - сопротивление катушки, то уравнение для тока имеет вид

R

+

d^2T

dt d

=

0,

(4)

или, поскольку

=

t

,

(5)

R

+

L

d

dt

=

Hg

cos

+

MG(-)

cos(-)

.

(6)

765.

И из теории, и из наблюдений одинаково следует, что азимут магнита подвержен двум видам периодических изменений. Одно из них - свободные колебания, период которых зависит от интенсивности земного магнетизма и равен, согласно эксперименту, нескольким секундам. Другое - вынужденные колебания с периодом, равным половине периода вращения катушки и, как мы увидим далее, с необнаружимо малой амплитудой. Следовательно, при определении мы можем считать угол практически постоянным.

Таким образом, мы находим

=

Hg

R^2+L^2^2

(R

cos

+

L

sin

)+

(7)

+

Hg

R^2+L^2^2

{R

cos (-)

+

L

sin (-)

}+

(8)

–

R

L

t

+Ce

.

(9)

Когда вращение происходит с постоянной скоростью, последний член в этом выражении довольно быстро исчезает.

Движение подвешенного магнита определяется уравнением

d^2T

dt d

–

dT

d

+

dV

d

=

0,

(10)

откуда

A

–

MG

cos(-)

+

MH(

sin

+

(-)

)=

0.

(11)

Подставим значение и расположим члены в соответствии с кратностью аргумента , кроме того, из наблюдений мы знаем, что

=

+

be

^{– lt}

cos nt

+

c

cos 2(-)

,

(12)

где - среднее значение , второй член выражает постепенно затухающие свободные колебания, а третий - вынужденные колебания, возникающие из-за изменения отклоняющего тока.

Начиная с тех членов в (11), которые не содержат и должны в совокупности быть равными нулю, мы приближённо находим

MG

R^2+L^2^2

{

Hg(R

cos

+

L

sin

)+

GMR

}=

=

2MH(

sin

+

(-)

).

(13)

Поскольку член L tg обычно мал по сравнению с Gg, решение квадратного уравнения (13) приближённо даёт

R

=

Gg

1+

GM

gH

sec

–

2 tg

1+

–

sin

–