Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
Томсоновский метод вращающейся катушки
763. Этот метод был предложен Томсоном Комитету Британской Ассоциации Электрических Стандартов; эксперимент был выполнен Бэлфором Стьюартом (Balfour Stewart), Флемингом Дженкином (Fleeming Jenkin) и автором в 1863 г.3
3 См. Report of the British Association for 1863, p. 111-176.
Круглая катушка приводится во вращение с постоянной скоростью вокруг вертикальной оси. В центре катушки на шёлковой нити подвешивается небольшой магнит. Электрический ток в катушке индуцируется
764. Пусть H - горизонтальная составляющая земного магнетизма.
Пусть - сила тока в катушке,
g - общая площадь, охватываемая всеми витками провода;
G - магнитная сила в центре катушки, создаваемая единичным током;
L - коэффициент самоиндукции катушки;
M - магнитный момент подвешенного магнита;
– угол между плоскостью катушки и магнитным меридианом;
– угол между осью подвешенного магнита и магнитным меридианом;
A - момент инерции подвешенного магнита;
MH - коэффициент кручения нити подвеса;
– азимут магнита в отсутствии кручения;
R - сопротивление катушки.
Кинетическая энергия системы равна
T
=
1/2 L^2
–
Hg
sin
–
HG
sin (-)
+
MH
cos
+
+
1/2 A^2
.
(1)
Первый член, равный 1/2 L^2, выражает энергию тока, зависящую только от самой катушки. Второй член определяется взаимодействием тока и земного магнетизма, третий - взаимодействием тока и магнетизма подвешенного магнита, четвёртый - взаимодействием магнетизма подвешенного магнита и земного магнетизма, последний член выражает кинетическую энергию вещества, образующего магнит и движущуюся вместе с ним подвешенную аппаратуру.
Потенциальная энергия подвешенной аппаратуры, возникающая из-за кручения нити, равна
V
=
MH
2
(^2-2)
.
(2)
Электромагнитный импульс тока равен
p
=
dT
d
=
L
–
Hg
sin
–
MG
sin(-)
,
(3)
и если R - сопротивление катушки, то уравнение для тока имеет вид
R
+
d^2T
dt d
=
0,
(4)
или, поскольку
=
t
,
(5)
R
+
L
d
dt
=
Hg
cos
+
MG(-)
cos(-)
.
(6)
765. И из теории, и из наблюдений одинаково следует, что азимут магнита подвержен двум видам периодических изменений. Одно из них - свободные колебания, период которых зависит от интенсивности земного магнетизма и равен, согласно эксперименту, нескольким секундам. Другое - вынужденные колебания с периодом, равным половине периода вращения катушки и, как мы увидим далее, с необнаружимо малой амплитудой. Следовательно, при определении мы можем считать угол практически постоянным.
Таким образом, мы находим
=
Hg
R^2+L^2^2
(R
cos
+
L
sin
)+
(7)
+
Hg
R^2+L^2^2
{R
cos (-)
+
L
sin (-)
}+
(8)
–
R
L
t
+Ce
.
(9)
Когда вращение происходит с постоянной скоростью, последний член в этом выражении довольно быстро исчезает.
Движение подвешенного магнита определяется уравнением
d^2T
dt d
–
dT
d
+
dV
d
=
0,
(10)
откуда
A
–
MG
cos(-)
+
MH(
sin
+
(-)
)=
0.
(11)
Подставим значение и расположим члены в соответствии с кратностью аргумента , кроме того, из наблюдений мы знаем, что
=
+
be
– lt
cos nt
+
c
cos 2(-)
,
(12)
где - среднее значение , второй член выражает постепенно затухающие свободные колебания, а третий - вынужденные колебания, возникающие из-за изменения отклоняющего тока.
Начиная с тех членов в (11), которые не содержат и должны в совокупности быть равными нулю, мы приближённо находим
MG
R^2+L^2^2
{
Hg(R
cos
+
L
sin
)+
GMR
}=
=
2MH(
sin
+
(-)
).
(13)
Поскольку член L tg обычно мал по сравнению с Gg, решение квадратного уравнения (13) приближённо даёт
R
=
Gg
1+
GM
gH
sec
–
2 tg
1+
–
sin
–