Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
dx
ds
=
l,
dy
ds
=
m,
dz
ds
=
n,
dx'
ds'
=
l',
dy'
ds'
=
m',
dz'
ds'
=
n'
(2)
и
l(x'-x)
+
m(y'-y)
+
n(z'-z)
=
r cos ,
l'(x'-x)
+
m'(y'-y)
+
n'(z'-z)
=-
r cos ',
ll'
+
mm'
+
nn'
=
cos ,
(3)
где -
cos
=
–
cos
cos '
+
sin
sin '
cos
.
(4)
Далее,
r^2
=
(x'-x)^2
+
(y'-y)^2
+
(z'-z)^2
,
(5)
отсюда
r
dr
ds
=
–
(x'-x)^2
dx
ds
–
(y'-y)^2
dy
ds
–
(z'-z)^2
dz
ds
,
=
– r
cos
.
Аналогично
r
dr
ds'
=
–
(x'-x)^2
dx'
ds'
–
(y'-y)^2
dy'
ds'
–
(z'-z)^2
dz'
ds'
,
=
– r
cos '
(6)
и, дифференцируя r(dr/ds) по s',
r
d^2r
dsds'
+
dr
ds
dr
ds'
=
–
dx
ds
dx'
ds'
–
dy
ds
dy'
ds'
–
dz
ds
dz'
ds'
,
=
– (
ll'
+
mm'
+
nn'
),
=
– cos
.
(7)
Мы можем поэтому выразить три угла , ' и и вспомогательный угол через производные от r по s и s' следующим образом:
cos
=
–
dr
ds
,
cos '
=
–
dr
ds'
,
cos
=
– r
d^2r
dsds'
–
dr
ds
dr
ds'
,
sin sin ' cos
=
– r
d^2r
dsds'
.
(8)
513. Рассмотрим далее, как факт воздействия друг на друга элементов PQ и P'Q' может быть представлен математически; причём сначала мы не будем предполагать, что взаимодействие с необходимостью происходит вдоль линии, соединяющей эти элементы.
Мы видели, что каждый элемент можно считать разложенным на другие элементы при условии, что эти составляющие, если их скомбинировать по правилу сложения векторов, дадут в качестве своей результирующей исходный элемент.
Рис. 30
Мы будем поэтому рассматривать элемент ds разложенным на cos ds= в направлении r и на sin ds= - в направлении, перпендикулярном к r в плоскости P'PQ [рис. 30].
Будем также рассматривать элемент ds' разложенным на cos 'ds'=' в направлении, обратном r, на sin ' cos ds'=' - в направлении, параллельном тому, в котором измерен , и на sin ' sin ds'=' - в направлении, перпендикулярном ' и '.
Рассмотрим действие между составляющими и , с одной стороны, и между ', ', ' - с другой.
(1). и ' лежат на одной прямой. Сила между ними должна быть поэтому тоже направлена вдоль этой прямой. Будем считать её притягивающей, A'ii', где A есть функция r, а i, i' - интенсивности токов соответственно в ds и ds'. Это выражение удовлетворяет условию изменения знака перед i и перед i'.
(2). и ' параллельны друг другу и перпендикулярны линии, их соединяющей. Действие между ними записывается так: B'ii'.
Эта сила действует, очевидно, вдоль линии, соединяющей и ' ибо она должна быть в плоскости, в которой лежат эти составляющие, и если бы мы измерили и ' в обратном направлении, то это выражение осталось бы неизменным, значит, если оно представляет силу, то такую, у которой нет составляющих в направлении и которая, следовательно, должна быть направлена по r. Будем считать, что это выражение, когда оно положительно, соответствует притяжению.
(3). и ' перпендикулярны друг к другу, а также к линии, их соединяющей. Единственным возможным действием между расположенными так элементами является пара сил с осью, параллельной r. Но мы сейчас заняты самими силами и поэтому оставим это в стороне.
(4). Действие и ' (если они вообще действуют друг на друга) должно выражаться так: C'ii'.
Знак этого выражения обращается на противоположный при обращении направления, в котором мы измеряем '. Поэтому оно должно представлять собой либо силу в направлении ', либо момент пары сил в плоскости и '. Поскольку мы не изучаем пары, то будем принимать его за силу, действующую на в направлении '.
Существует, конечно, и равная ей сила, действующая на ' в противоположном направлении.
По той же причине мы имеем силу C'ii', действующую на в направлении ', и силу C'ii', действующую на в направлении, противоположном тому, в котором измеряется .