Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Максвелл Джеймс Клерк

₂

dM

dx

+

1

2

y

₂

^2

dN

dx

.

Если движение системы, соответствующее изменению x, таково, что каждый из контуров перемещается как твёрдое тело, то L и N будут независимыми от x, и уравнение сведётся к виду

X

=

y

₁

y

₂

dM

dx

.

Следовательно, если первичный и вторичный токи имеют одинаковые знаки, то сила X, действующая между контурами, будет стремиться

смещать их так, чтобы увеличить значение M.

Если контуры расположены рядом, а токи текут в них в одинаковых направлениях, то M будет увеличиваться при их сближении. Таким образом, в этом случае сила X оказывается силой притяжения.

584. Все явления взаимодействия двух контуров, будь то индукция токов или механическая сила между ними, зависят от величины M, названной нами коэффициентом взаимной индукции. Метод расчёта этой величины из геометрических соотношений между контурами дан в п. 524, однако в исследованиях, помещённых в следующей главе, мы не будем предполагать, что математическое выражение для этой величины известно. Мы будем считать, что она найдена из опытов, связанных с индукцией, например, путём наблюдения интегрального тока при внезапном перемещении вторичного контура из данного положения на бесконечное расстояние или в любое такое положение, для которого известно, что M=0.

ГЛАВА VIII

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЯ С ПОМОЩЬЮ ВТОРИЧНОГО КОНТУРА

585. В п. 582, 583, 584 мы доказали, что электромагнитное действие между первичным и вторичным контурами зависит от некоторой величины, являющейся функцией формы и относительного положения двух контуров и обозначенной нами через M.

Хотя эта величина M фактически представляет собой то же самое, что и потенциал двух контуров, математическую форму и свойства которого мы вывели в п. 423, 521, 539, исходя из магнитных и электромагнитных явлений, не будем здесь ссылаться на эти результаты, а начнём сначала, с нового обоснования, не делая никаких иных допущений, кроме установленных в главе VII для динамической теории.

Электрокинетический импульс вторичного контура состоит из двух частей (п. 578): одна, Mi₁ зависит от первичного тока i₁ а вторая, Ni₁, - от вторичного тока i₂. Мы будем исследовать сейчас первую из этих частей, которую обозначим через p:

p

=

Mi

₁

.

(1)

Мы предположим также, что первичный контур неподвижен, а ток в нём постоянен. Величина p, являющаяся электрокинетическим импульсом вторичного контура, будет в этом случае зависеть только от формы и положения вторичного контура; если в качестве вторичного контура взять произвольную замкнутую кривую, приняв какое-либо направление вдоль неё за положительное, то величина p для этой замкнутой кривой будет определена; если же положительным было бы выбрано противоположное направление вдоль этой кривой, то знак p сменился бы на противоположный.

586. Так как величина р зависит от формы и положения контура, мы можем предположить, что каждый участок контура даёт определённый вклад в величину p и что доля вклада каждого участка контура зависит от формы и положения только этого участка, но не от расположения других частей контура.

Это допущение является законным, потому что мы не рассматриваем сейчас ток, части которого могут действовать (и действительно действуют) одна на другую, мы рассматриваем просто контур, т.е. замкнутую кривую, являющуюся чисто геометрической фигурой, вдоль которой может течь ток, и поэтому нельзя представлять, что части этой фигуры оказывают друг на друга какое-то физическое воздействие.

Таким образом, мы можем предположить, что доля вклада от элемента контура ds равна Jds, где J - величина, зависящая от положения и направления элемента ds. Следовательно, значение p допускает выражение через линейный интеграл

p

=

Jds

,

(2)

где интегрирование проводится по замкнутому контуру однократно.

587. Далее мы должны определить вид величины J. Прежде всего, если направление ds изменить на противоположное, то знак изменится. Поэтому, когда два контура ABCE и AECD имеют общую дугу AEC, отсчитываемую в этих контурах в противоположных направлениях, то сумма значений p для двух контуров ABCE и AECD будет равна значению p для контура ABCD, составленного из этих двух контуров [рис. 35].

Рис. 35

Действительно, части линейного интеграла, относящиеся к дуге AEC, для обоих парциальных контуров равны по величине и противоположны по знаку; когда берётся их сумма, они взаимно уничтожаются, и остаются только части линейного интеграла, зависящие от внешней границы ABCD.

Таким же путём мы можем показать, что если поверхность, ограниченную замкнутой кривой, разделить на произвольное число частей и границу каждой из них рассматривать как контур (положительное направление каждого контура совпадёт с положительным направлением внешней замкнутой кривой), то значение p для замкнутой кривой окажется равным сумме значений p для всех этих контуров, см. п. 483.

588. Рассмотрим теперь участок поверхности, размеры которого настолько малы по сравнению с главными радиусами кривизны поверхности, что изменением направления нормали в пределах этого участка можно пренебречь. Будем предполагать также, что если любой очень маленький контур перенести параллельно самому себе от одной части этого участка к другой, то величина p для этого малого контура заметно не изменится и это, очевидно, относится к тому случаю, когда размеры участка поверхности достаточно малы по сравнению с его расстоянием от первичного контура.

Если на этом участке поверхности провести произвольную замкнутую кривую, то значение p будет пропорционально площади, ею охватываемой.

Действительно, площади любых двух контуров могут быть разделены на малые элементы, имеющие одинаковые размеры и одинаковые значения p. Площади этих двух контуров пропорциональны числу тех элементов, из которых они состоят, и в таком же отношении между собой находятся их значения p.

Отсюда значение p для контура, который ограничивает некоторый элемент поверхности dS, имеет вид IdS, где I есть величина, зависящая от положения элемента dS и от направления его нормали. Поэтому мы имеем новое выражение для p:

p

=

IdS

,

(3)

где двойное интегрирование распространяется на любую поверхность, ограниченную контуром.

589. Пусть ABCD будет контуром, у которого AC является элементарным участком, настолько малым, что его можно считать прямолинейным. Пусть ABP и CQB будут малые, равные между собой площадки, лежащие в той же плоскости, тогда значение p будет одинаковым для обоих малых контуров APB и CQB [рис. 36], или