Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
1/2 V
(AD
+
BD
+
AC
–
CD
–
BC)
,
а количество электричества на внешней поверхности, принадлежащей сфере B, равно
1/2 V
(AD
+
BD
+
BC
–
CD
–
AC)
,
причём полный заряд равен сумме этих величин, или
V
(AD
+
BD
–
CD)
.
Если
3^2
4^2
1+
1
3
·
+
1
6
·
^2
^2
+ и т.д.
относится к единице.
Пусть теперь обозначает однородную поверхностную плотность на A после удаления B. Тогда заряд на A равен 4^2 и поэтому заряд на B равен
3^2
1+
1
3
·
+ и т.д.
,
т.е., если радиус очень мал в сравнении с , заряд на полусфере B в три раза превышает такой заряд, который при поверхностной плотности заряда а содержался бы на площади, равной площади кругового основания полусферы.
Из п. 175 следует, что если малая сфера приводится в соприкосновение с электризованным телом, а затем удаляется от него на некоторое расстояние, средняя плотность заряда на сфере относится к плотности заряда на теле в точке соприкосновения как ^2 относится к 6 или как 1,641 к 1.
225. Наиболее удобная форма для пробной плоскости - это форма круглого диска. Поэтому мы покажем, как измерять заряд на таком диске, положенном на электризованную поверхность. Для этой цели мы построим такую потенциальную функцию, у которой одна из эквипотенциальных поверхностей напоминала бы круговую выпуклость с плоской вершиной, схожую по своей общей форме с диском, лежащим на плоскости.
Пусть - поверхностная плотность на плоскости; эту плоскость мы примем за плоскость xy.
Потенциал, отвечающий этой электризации, будет V=-4z.
Пусть теперь два диска радиуса a жёстко наэлектризованы с плотностями заряда +' и -'. Пусть первый из них помещён на плоскость центром в начало координат, а второй - параллельно ему на очень малом расстоянии c.
Тогда можно показать, как мы в этом убедимся в теории магнетизма, что потенциал этих двух дисков в любой точке равен 'c где есть телесный угол с вершиной в этой точке, опирающейся на края любого из дисков. Таким образом, потенциал всей системы будет V=-4z+'c.
Формы эквипотенциальных поверхностей и линий индукции даны на левой стороне рис. XX в конце второго тома.
Обратим внимание на форму поверхности, для которой V=0. Эта поверхность проведена пунктиром.
Обозначим через r расстояние любой точки от оси z. Тогда для значений r, много меньших, чем a, и для малых z находим =2-2(z/a)+ и т. д.
Таким образом, для значений z, много меньших,
0
=
– 4z
+
2'c
–
2'
z0c
a
+ и т.д.,
или
z
0
=
'c
.
2+'
c
a
Следовательно, эта эквипотенциальная поверхность вблизи оси является почти плоской.
Вне диска, где величина r много больше, чем a, телесный угол равен нулю при z=0, так что плоскость xy представляет собой часть эквипотенциальной поверхности.
Чтобы выяснить, где встречаются эти две части поверхности, найдём, в какой точке этой плоскости dV/dz=0.
Если величина r очень близка к a, телесный угол становится приблизительно сферическим двуугольником на сфере единичного радиуса. Угол этого двуугольника равен arctg[z/(r-a)] и, следовательно, =2 arctg[z/(r-a)]. Поэтому при z=0 выполняется приблизительное равенство
dV
dz
=-
4
+
2-c
r-a
.
Таким образом, при dV/dz=0
r
0
=
a
+
'c
2
=
a
+
z0
(приблизительно).
Поэтому эквипотенциальная поверхность V=0 состоит из напоминающей диск фигуры радиуса r0 и примерно одинаковой толщины z0 и из той части бесконечной поверхности xy, которая лежит за пределами этой фигуры.
Поверхностный интеграл по всему диску даёт находящийся на нём электрический заряд. Можно сказать, как это сделано в теории круговых токов, часть IV, п. 704, что заряд на диске равен
Q
=
4a'c
ln
8c
r0– a
– 2
+
r
0
^2
.
Заряд на такой же площади плоской поверхности равен r0^2, таким образом, заряд на диске превышает заряд на такой же плоской поверхности в отношении
1
+
8
z0
r0
ln
8r0
z0
к единице,
z0– толщина, r0– радиус диска, и предполагается, что величина z0 мала в отношении с r0.