Трактат об электричестве и магнетизме

Максвелл Джеймс Клерк

Следовательно, если считать, что AQP и AQ'P - два пути из A в P то линейный интеграл вдоль AQ'P равен сумме интеграла вдоль AQP и интеграла по замкнутому пути AQ'PQA. Но интеграл по замкнутому пути равен нулю, и поэтому интегралы по двум путям AQP и AQ'P равны между собой.

Таким образом, если задать потенциал в какой-либо одной точке, принадлежащей этой области, то тем самым он будет определён и для любой другой точки.

20.Теорема II. Если всюду внутри циклической области справедливо уравнение

Xdx

+

Ydy

+

Zdz

=

– D

то

линейный интеграл из точки A в точку P, взятый вдоль линии, проведённой в пределах этой области, вообще говоря, не определён до тех пор, пока не установлен канал, по которому происходит связь между A и P.

Пусть N есть индекс цикличности области, тогда при помощи поверхностей (которые мы будем называть Диафрагмами) можно осуществить N сечений области, запирающих N каналов связи и сводящих тем самым данную область, не разрушая её непрерывности, к области, удовлетворяющей условию ацикличности.

Согласно последней теореме, линейный интеграл от A до произвольной точки P, взятый вдоль линии, не пересекающей ни одну из этих диафрагм, будет иметь вполне определённое значение.

Возьмём теперь точки A и P, сколь угодно близко расположенные друг к другу, но находящиеся на противоположных сторонах диафрагмы, и обозначим через K линейный интеграл от A до P.

Пусть A' и P' будут двумя другими точками, сколь угодно близкими друг к другу, расположенными на противоположных сторонах той же самой диафрагмы, а K' - линейный интеграл от A' до P'. Тогда K'=K.

Действительно, если мы проведём две почти совпадающие линии AA' и PP', расположенные по разные стороны от диафрагмы, то линейные интегралы вдоль них будут равны между собой. Пусть каждый из этих интегралов есть L тогда линейный интеграл K взятый вдоль A'P', окажется равным линейному интегралу, взятому вдоль A'A+AP+PP' = -L+K+L = K, т.е. линейному интегралу вдоль AP.

Следовательно, линейный интеграл по замкнутой кривой, проходящей сквозь одну диафрагму в определённом заданном направлении, равен некоторой постоянной величине K называемой Циклической константой данного цикла.

Пусть внутри этой области проведена произвольная замкнутая кривая, пересекающая диафрагму первого цикла p раз в положительном направлении и p' раз в отрицательном направлении, причём p-p'=n₁. Тогда линейный интеграл вдоль этой замкнутой кривой будет равен n₁K₁.

Аналогично линейный интеграл, взятый вдоль произвольной замкнутой кривой, будет равен

n

₁

K

₁

+

n

₂

K

₂

+…+

n

_s

K

_s

,

где n_s представляет собой превышение числа положительных прохождений кривой через диафрагму S-го цикла над числом отрицательных.

Если две кривые таковы, что одна из них может быть преобразована в другую путём её непрерывного изменения без прохождения в какой бы то ни было момент времени любой части пространства, в котором условия существования потенциала не выполнены, то эти две кривые называются совместимыми. Те кривые, для которых это преобразование не может быть произведено, называются несовместимыми ⁸.

⁸ См. сэр У. Томсон «О вихревом движении», Trans.R. S. Edin., 1867-8. (Sir W. Thom-on «On Vortex Motion»).

Условие, состоящее в том, что выражение Xdx + Ydy + Zdz является полным дифференциалом некоторой функции во всех точках внутри определённой области, возникает в целом ряде физических задач, где направленная величина и потенциал имеют различные физические истолкования.

В чисто кинематических задачах мы можем положить величины X, Y, Z составляющими смещения точки сплошного тела, начальные координаты которой равны x, y, z тогда данное условие выражает тот факт, что эти смещения составляют невращательные деформации ⁹.

⁹ Thomson and Tait, Natural Philosophy, § 190(I).

Если X, Y, Z представляют собой составляющие скорости жидкости в точке x, y, z, то данное условие означает, что движение жидкости невращательное.

Если X, Y, Z представляют собой составляющие силы в точке x, y, z, то это условие означает, что работа, совершаемая над частицей при прохождении её из одной точки в другую, равна разности потенциалов в этих точках и что значение этой разности одинаково для всех совместимых путей между этими двумя точками.

О поверхностных интегралах

21. Пусть dS есть элемент поверхности, а - угол между нормалью к поверхности, проведённой в направлении положительной стороны поверхности, и направлением векторной величины R тогда величина R cos dS называется поверхностным интегралом от R по поверхности S.

Теорема III. Поверхностный интеграл от потока (плотности потока), втекающего внутрь замкнутой поверхности, может быть выражен через объёмный интеграл от его конвергенции, взятый по области, расположенной внутри этой поверхности (см. п. 25).

Пусть X, Y, Z будут составляющие R, а l, m, n - направляющие косинусы нормали к поверхности, отсчитываемой наружу. Тогда поверхностный интеграл от R по S равен

R cos dS

=

XldS

+

YmdS

+

ZndS

,

(1)

где X, Y, Z - это значения, взятые в точке на поверхности, а интегрирования распространены на всю поверхность.

Если поверхность замкнутая, то при заданных y и z координата x должна иметь чётное количество значений, так как линия, параллельная x, должна входить в замкнутое пространство и выходить из него одинаковое число раз при условии, что она вообще пересекает поверхность.