Трактат об электричестве и магнетизме, Максвелл Джеймс Клерк

Трактат об электричестве и магнетизме

на обложку

Максвелл Джеймс Клерк

Шрифт:

)

(4)

или, выражая , , через X, Y, Z

– n

– l

– m

(5)

Часть этого интеграла, зависящая от X, может быть записана так:

–

(6)

После

добавления и вычитания величины

это выражение становится таким:

–

;

(7)

–

(8)

Предположим теперь, что кривые постоянных образуют семейство замкнутых кривых, окружающих некоторую точку на поверхности, в которой принимает своё минимальное значение, равное 0; пусть последняя кривая этого семейства, для которой =1 совпадает с замкнутой кривой s.

Предположим также, что кривые постоянных образуют семейство линий, проведённых от точки, где =0, до замкнутой кривой s, причём первая линия, соответствующая значению 0, совпадает с последней линией 1.

При интегрировании (8) по частям (первый член интегрируется по , а второй - по ) двойные интегралы взаимно уничтожаются и выражение принимает вид

–

(9)

Так

как точка (, 1) совпадает с точкой (, 0), то третий и четвёртый члены уничтожают друг друга, и поскольку в точке, где =0 существует только одно значение x то второй член обращается в нуль и выражение сводится к первому члену.

Так как кривая =1 совпадает с замкнутой кривой s, мы можем написать это выражение в виде

(10)

где интегрирование выполняется вдоль кривой s. Аналогично можно поступить и с теми частями поверхностного интеграла, которые зависят от Y и Z, так что окончательно получаем

(

)

(11)

где первый интеграл распространён на поверхности S, а второй берётся вдоль ограничивающей её кривой s. 11

11 Эта теорема была дана профессором Стоксом (Smith’s Prize Examination, 1854, question 8). Она доказана в книге Томсона и Тэта Natural Philosophy, § 190 (II).

О действии оператора на векторную функцию

25. Мы видели, что оператор, обозначенный как , - это такой оператор, при помощи которого векторная величина вычисляется из её потенциала. Тот же самый оператор, однако, применённый к векторной функции, даёт результаты, входящие в две только что доказанные нами теоремы (III и IV). Профессору Тэту 12 мы обязаны обобщением этого оператора применительно к векторным смещениям, а также большей части последующих усовершенствований.

12 См. Proc. R. S. Edin., April 28, 1862. «On Green’s and other allied Theorems», Trans. R. S. Edin., 1869-70 - очень ценная статья, и «On some Quaternion Integrals», Proc. R. S. Edin., 1870-71.

Пусть будет векторной функцией вектора переменной точки . Как обычно, предположим, что