Трактат об электричестве и магнетизме, Максвелл Джеймс Клерк

Трактат об электричестве и магнетизме

на обложку

Максвелл Джеймс Клерк

Шрифт:

(1)

Согласно сказанному выше, если является потенциалом, то

(2)

Используем теперь запись для оператора

(3)

тогда

(4)

Значок

можно понимать как указание измерить скорость увеличения в каждом из трёх направлений прямоугольной системы координат и затем, считая найденные величины векторами, объединить их в единый вектор. Это и есть как раз то, что предписывается делать в соответствии с выражением (3). Но мы можем считать также, что это заставляет нас отыскать сначала направление наибыстрейшего увеличения а затем построить в этом направлении некоторый вектор, представляющий скорость такого возрастания.

Ламе в своём «Трактате об обратных функциях» (М. Lame, Trait'e des Fonctions Inverses) для выражения величины этой наибольшей скорости роста пользовался термином «дифференциальный параметр», однако ни сам этот термин, ни принятый Ламе способ употребления его не свидетельствуют о том, что данная величина характеризуется как направлением, так и модулем. В тех редких случаях, когда я должен буду обращаться к этому соотношению как к чисто геометрическому, я буду называть вектор F пространственной вариацией скалярной функции , используя эти слова для того, чтобы отметить и направление, и величину наиболее быстрого убывания .

18. Есть, однако, такие случаи, когда условия

–

=0,

–

=0,

–

=0,

Являющиеся условиями того, что выражение Xdx+Ydy+Zdz образует полный дифференциал, выполняются внутри некоторой области пространства, и, несмотря на это, линейный интеграл от A до P может быть различен для двух кривых, каждая из которых целиком лежит внутри данной области. Это может произойти в том случае, когда область имеет форму кольца, а две линии, соединяющие A с P, проходят по противоположным сегментам этого кольца. В этом случае нельзя преобразовать непрерывным изменением один путь в другой без выхода за пределы этой области.

Здесь мы пришли к представлениям, относящимся к Геометрии Положения, топологии, предмет которой изучен ещё мало, хотя важность его была отмечена Лейбницем и наглядно пояснена Гауссом. Наиболее полное его рассмотрение дано Дж. Б. Листингом 7.

7Der Census Ra"umlicher Complexe, Gott. Abh., Bd. X, S. 97 (1861).

Пусть в пространстве имеется p точек и проведено l линий произвольной формы, соединяющих эти точки, причём никакие две линии не пересекаются друг с другом и ни одна точка не остаётся изолированной. Фигуру, составленную из линий таким способом, мы будем называть Диаграммой (графом). Для того чтобы образовать связанную систему, достаточно для соединения p точек взять p-1 таких линий. Каждая новая линия завершит петлю или замкнутый путь, или, как мы будем называть его, Цикл. Таким образом, число независимых циклов в диаграмме равно =l-p+1.

Любой замкнутый путь, проведённый по линиям диаграммы, оказывается составленным из этих независимых циклов, каждый из которых берётся любое число раз в любом направлении.

Сам факт существования циклов называется Цикличностью (циклозисом - cyclosis), а число циклов в диаграмме - Индексом Цикличности (или цикломатическим числом - cyclomatic number).

Цикличность на поверхностях и в пространственных областях

Поверхности бывают либо полными, либо ограниченными. Полные поверхности либо бесконечны, либо замкнуты. Ограниченные поверхности ограничены одной или несколькими замкнутыми линиями, которые в предельных случаях вырождаются в сдвоенные конечные линии или в точки.

Конечная область пространства ограничена одной или несколькими замкнутыми поверхностями. Одна из них является внешней поверхностью, остальные же, содержащиеся внутри неё, но не включающие в себя друг друга, называются внутренними поверхностями.

Если область имеет только одну ограничивающую поверхность, то можно считать, что она допускает сжатие вовнутрь без нарушения непрерывности или самопересечений. Если область обладает простой непрерывностью, как, например, сфера, то процесс сжатия может продолжаться до тех пор, пока область не стянется в точку; если область подобна кольцу, то в результате получится замкнутая кривая; если же область является многосвязной, то результатом её сжатия будет диаграмма линий, индекс цикличности которой равен индексу цикличности рассматриваемой области. Пространство вне рассматриваемой области характеризуется тем же индексом цикличности, что и сама эта область. Следовательно, если область ограничена наряду с внешней и внутренними поверхностями, её индекс цикличности равен сумме индексов, характеризующих все эти поверхности.

Когда некоторая область содержит внутри себя другие области, она называется многограничной, или Перифрактической (Periphractic region).

Число внутренних ограничивающих поверхностей у области называется порядком её перифрактичности. Замкнутая поверхность тоже является многограничной, её порядок перифрактичности равен единице.

Индекс цикличности замкнутой поверхности равен удвоенному индексу цикличности любой из областей, ограничиваемых ею. Для того чтобы найти индекс цикличности ограниченной поверхности, допустим, что все границы сжимаются вовнутрь без нарушения непрерывности до тех пор, пока не встретятся друг с другом. Тогда поверхность стянется либо в точку в случае ациклической поверхности, либо в линейный граф в случае циклических поверхностей. Индекс цикличности графа совпадает с индексом цикличности поверхности.

19.Теорема I. Если в некоторой ациклической области справедливо соотношение

Xdx

Ydy

Zdz

– D

то значение линейного интеграла, взятого от точки A до точки P, будет одинаковым для любого пути внутри этой области.

Покажем сначала, что линейный интеграл, взятый по любому замкнутому пути в пределах области, равен нулю.

Пусть нанесены эквипотенциальные поверхности. Они либо замкнуты, либо полностью ограничены поверхностью области, так что замкнутая линия внутри этой области, если она пересекает какую-то из этих поверхностей на одном из участков своего пути, должна пересечь ту же самую поверхность в противоположном направлении на каком-то другом участке своего пути; поскольку соответствующие вклады в линейный интеграл окажутся одинаковыми по величине и противоположными по знаку, то полное его значение будет равно нулю.