Трактат об электричестве и магнетизме, Максвелл Джеймс Клерк

Трактат об электричестве и магнетизме

на обложку

Максвелл Джеймс Клерк

Шрифт:

При каждом входе ldS=-dydz, а при каждом выходе ldS=dydz.

Пусть некоторая точка, движущаяся из x=- в x=+, первый раз входит в это пространство при x=x1 а затем покидает его при x=x2 и так далее; при этом значения X в этих точках соответственно равны X1, X2, …; тогда

XldS

{

– X

)

– X

)

+…+

2n-1

– X

)

}

(2)

Если X

является величиной непрерывной и не принимающей в интервале между x1 и x2 бесконечных значений, то

– X

(3)

где интегрирование производится от первого до второго пересечения, а именно в пределах первого отрезка x находящегося внутри замкнутой поверхности. Учитывая все отрезки, лежащие в пределах замкнутой поверхности, находим

XldS

(4)

Где двойное интегрирование ограничивается замкнутой поверхностью, а тройное интегрирование распространяется на всё охватываемое ею пространство. Следовательно, если X, Y, Z непрерывны и конечны внутри замкнутой поверхности S, то полный поверхностный интеграл от R, взятый по этой поверхности, будет равен

R cos dS

(5)

где тройное интегрирование распространено на всё пространство внутри S.

Предположим теперь, что величины X, Y, Z не являются непрерывными в пространстве, охватываемом замкнутой поверхностью, а на некоторой поверхности F{x,y,z}=0 изменяются скачком от значений X, Y, Z на отрицательной стороне этой поверхности до значений X', Y', Z' на её положительной стороне.

Если этот разрыв происходит, скажем, между x1 и x2 то значение X2– X1 окажется равным

(X'-X)

(6)

здесь в подынтегральном выражении следует рассматривать только конечные значения производной от X

Таким образом, в этом случае полный поверхностный интеграл от R по замкнутой поверхности будет представляться выражением

R cos dS

(X'-X)

(Y'-Y)

(Z'-Z)

(7)

или, если через l', m', n' обозначить направляющие косинусы нормали к поверхности разрыва, а через dS' - элемент этой поверхности,

R cos dS

{

l'(X'-X)

m'(Y'-Y)

n'(Z'-Z)

}

dS'

(8)

где интегрирование в последнем члене производится по поверхности разрыва.

Если в каждой точке, где X, Y, Z непрерывны, справедливо уравнение

(9)

а на каждой поверхности, где они разрывны,-

l'X'

m'Y'

n'Z'

l'X

m'Y

n'Z

(10)

то поверхностный интеграл по любой замкнутой поверхности равен нулю и про распределение векторной величины говорят, что оно является Соленоидальным.

Мы будем ссылаться на уравнение (9) как на Общее условие соленоидальности, а на уравнение (10) - как на условие соленоидальности на поверхности.

22. Рассмотрим теперь случай, когда уравнение

(11)

выполнено в каждой точке внутри поверхности S. Отсюда следует, что поверхностный интеграл по замкнутой поверхности равен нулю.

Пусть теперь замкнутая поверхность S состоит из трёх частей S1, S0, и S2, причём S1– это поверхность произвольной формы, ограниченная замкнутой кривой L1 a S0– поверхность, образованная линиями, проведёнными из каждой точки кривой L1 всегда совпадающими по направлению с R. Если l, m, n - направляющие косинусы нормали в произвольной точке поверхности S0, то мы имеем

R cos